Berechnung der Nullstelle

24.01.2007, 17:17

Berechnung der Nullstelle

hi

$\begin{eqnarray*} 0=2\ln(1+e^x)-x-2-2\ln(2) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich die Nullstelle dieser Gleichung berechnen? Gibt es eventuell eine geeignet Substitution?

24.01.2007, 17:28

sqrt4

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vllt:

$\begin{eqnarray*} x=lne^x \end{eqnarray*}$

24.01.2007, 17:46

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Was ?

ln(e^x)?

wie kommst du darauf? wie soll ich das substituieren?

24.01.2007, 17:52

Calvin

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RE: Berechnung der Nullstelle
Dürfte ohne Näherungsverfahren schwierig werden. Woher kommt diese Gleichung?

24.01.2007, 17:59

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Also die Aufgabe lautet:

Wie lautet die Gleichung derjenigen Stammfunktion H, deren Graph den Punkt $\begin{eqnarray*} Q(0;2) \end{eqnarray*}$ enthält?

Vorher war diese Funktion angegeben;:

$\begin{eqnarray*} H_0(x)=\int^x_0~h(t)~dt \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{2}{1+e^x}-1 \end{eqnarray*}$

und das heißt:

$\begin{eqnarray*} h(x)= -\frac{2e^x}{1+e^x}-1+2 =-\frac{2e^x}{1+e^x}+1 \end{eqnarray*}$

und das heißt smile

:
$\begin{eqnarray*} H(x)=-2\ln(1+e^x)+x \end{eqnarray*}$

und den Rest kannst du dir selber aufbauen.

Wie muss man das bestimmen? Es müsste ohne Näherngsverfahren gehen.

24.01.2007, 18:07

Calvin

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{2}{1+e^x}-1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimme ich dir noch zu. Ab da wird es für mich falsch. Vollkommen unkar ist mir, wo plötzlich das e^x im Zähler herkommt. Außerdem geht deine Rechnung meiner Meinung nach in die komplett falsche Richtung.

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} H_0(x)=\int_0^x~h(t)\,\dd t \end{eqnarray*}$ als eine Stammfunktion von h(x). Andere Stammfunktionen haben die Form $\begin{eqnarray*} H_a(x)=\int_a^x~h(t)\,\dd t \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist jetzt genau das a, so dass $\begin{eqnarray*} H_a(0)=2 \end{eqnarray*}$ ist.

24.01.2007, 18:23

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Deswegen sage ich, den Rest selbst ausrechnen. Du hättest die Funktion in einem Plotter eingeben sollen und dann hättest du erkannt, dass es die gleiche Funktion ist, nur ich habe es so umgeformt, dass es leicht integrierbar ist. Das 2e^x im Zähler ist mit der "nahrhaften" Null zu erklären.

Ich habe alles so gemacht, wie du erwähnt hast und mir ist auch klar, dass es nur EINE Stammfunktion ist(, ich habe statt a ein k ersetzt)

Das alles ist doch nicht das Problem. Was das Problem hier darstellt, ist die Nullstellenberechnung

Wie mach ich das?

edit: Ich hätte erwähnen sollen, das H(x) nur eine Stammfunktion ist!

24.01.2007, 18:35

Calvin

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OK, mit der Umformung hast du recht. Ich hatte es nicht nachgerechnet und die Umformung sah auf den ersten Blick sehr seltsam aus. Asche über mein Haupt *schütt* Hammer

Dann gehen wir mal ans Ende smile

Entweder du rechnest das unbestimmte Integral $\begin{eqnarray*} H(x)=\int~h(x)\,\dd x=-2\ln{(1+e^x)}+x+c \end{eqnarray*}$ oder das bestimmte Integral $\begin{eqnarray*} H_a(x)=\int_a^x~h(t)\,\dd t \end{eqnarray*}$ .

Bei beiden musst du a bzw. c so bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} H(0)=H_a(0)=2 \end{eqnarray*}$ ist.

24.01.2007, 18:39

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Genial- Das mit dem unbestimmten Integral ist eine sehr gute und auch eine einfach Angelegenheit.

Aber, wie geht es trotzdem auf der anderen Weise? Also mit dem bestimmten Integral? Hast du da eine Idee? Wie ich es oben aufgeschrieben habe, müsste richtig sein- fällt nur noch die Bestimmung vom Parameter k

Hättest du eine Idee, was man da machen kann?

24.01.2007, 18:41

sqrt4

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RE: Berechnung der Nullstelle

Zitat:

Original von PG
hi

$\begin{eqnarray*} 0=2\ln(1+e^x)-x-2-2\ln(2) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich die Nullstelle dieser Gleichung berechnen? Gibt es eventuell eine geeignet Substitution?

um nochmal darauf zurückzukommen

mit $\begin{eqnarray*} x= ln(e^x) \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} 0=2\ln(1+e^x)-ln(e^x)-2-2\ln(2) \end{eqnarray*}$

Log-Gesetze anwenden

$\begin{eqnarray*} 0=2\ln\frac{(1+e^x)}{(e^x)}-2-2\ln(2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=2\ln(1+e^{-x})-2-2\ln(2) \end{eqnarray*}$
Der Rest sollte ja machbar sein

24.01.2007, 18:48

Calvin

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Zitat:

Original von PG
Aber, wie geht es trotzdem auf der anderen Weise? Also mit dem bestimmten Integral? Hast du da eine Idee? Wie ich es oben aufgeschrieben habe, müsste richtig sein- fällt nur noch die Bestimmung vom Parameter k

Hättest du eine Idee, was man da machen kann?

Ah, jetzt verstehe ich, wie du auf die obige Gleichung gekommen bist. Habe mich irritieren lassen, dass bei dir immer x stand smile

Ich bin wohl nicht mehr ganz so fit Hammer

sqrt4 hat ja schon geschrieben, wie es geht.

24.01.2007, 18:52

sqrt4

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ahhh... bei mir is ein Fehler drin.. ich zieh die Log zusammen, aber vor dem ersten steht ja noch ein 2er Hammer

24.01.2007, 18:57

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RE: Berechnung der Nullstelle
Erst einmal danke für die Unterstützung sqrt

Zitat:

Original von sqrt4
[quote]Original von PG
mit $\begin{eqnarray*} x= ln(e^x) \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} 0=2\ln(1+e^x)-ln(e^x) -2-2\ln(2) \end{eqnarray*}$

Soweit stimmts

Aber jetzt Achtung:
$\begin{eqnarray*} 2\ln(1+e^x)-ln(e^x)\neq2\ln(1+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

24.01.2007, 18:59

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Trotzdem ist die Idee der Substitution $\begin{eqnarray*} z=e^x \end{eqnarray*}$ richtig, die führt jetzt nur letztendlich auf eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

24.01.2007, 18:59

sqrt4

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Ja den Fehler hab ich mitlerweile auch entdeckt...

24.01.2007, 19:04

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Also die Umformung von sqrt finde ich erstaunlich (Übung macht den Meister smile

)

Aber nun zur Substitution

$\begin{eqnarray*} z=e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=2\ln(1+z)-\ln(z)-2-2\ln(2) \end{eqnarray*}$

Diese Substitution meinst du Arthur, wenn ich mich nicht irre.

Wie meinst du das nun mit der quadratischen FUnktion?

24.01.2007, 19:06

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Na wie wohl, die ganze Gleichung mal delogarithmieren. Zweckmäßig ist vorher die Umstellung

$\begin{eqnarray*} 2\ln(1+z) = \ln(z)+2+2\ln(2) \end{eqnarray*}$

24.01.2007, 19:08

sqrt4

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ich hab mal den störenden ( Big Laugh

) 2er in den ln reingezogen
$\begin{eqnarray*} 2(1+ln2)=ln(\frac{1+2e^x+e^{2x}}{e^x}) \end{eqnarray*}$
darauf die e-Fkt anwenden und $\begin{eqnarray*} e^x =z \end{eqnarray*}$
führt zu einer quadrat. gleichung

Edit: also dann noch mit z malnehmen etc.

24.01.2007, 19:16

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sqrt, kannst du mir die Regel zeigen, mit der du die 2 losgeworden bist und Arthur, wie würdest du das delogarithmieren, denn dann steht ja $\begin{eqnarray*} \ln(z)+2+2\ln(2) \end{eqnarray*}$

und es würde ja alles im Exponent kommen. Kannst du mir das eventuell zeigen, weil das für das Abi wichtig ist und ich brauch das.

24.01.2007, 19:17

sqrt4

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naja es gilt:

$\begin{eqnarray*} r\cdot ln(x)=ln(x^r) \end{eqnarray*}$

24.01.2007, 19:19

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ok dann wäre es auf deiner Weise, dies zu berechnen geklärt- danke

Nun zu dir Arthur. Kannst du es mir bitte zeigen, wie du das meinst mit delogarithmieren, wenn es auf der obigen Weise steht?

edit: oder könntest du mir eventuell zeigen, sqrt, wie arthur das meint?

24.01.2007, 19:19

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Potenzgesetze sollten bekannt sein, insbesondere $\begin{eqnarray*} e^{a+b} = e^a\cdot e^b \end{eqnarray*}$ .

24.01.2007, 19:26

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ok habe alles verstanden und das ist gut, dass so viele Gesetze hier vorgestellt wurden, denn eine Wiederholung ist immer gut Big Laugh

Danke für die Hilfen

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