Verständnisfrage zu Polynomringen

02.05.2012, 17:43	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage zu Polynomringen Moin! Ich habe ein paar Verständnisprobleme mit Polynomringen, speziell dem Einsetzungshomomorphismus: Sei R ein kommutativer Ring, R[T] der Polynomring über R und A eine beliebige R-Algebra. Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray} t\in A \end{eqnarray}$ genau ein R-Algebrahomomorphismus $\begin{eqnarray} \Phi_{t} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi_{t}(\sum\limits _{i\in\mathbb{N}}a_{i}T^{i})=\sum\limits _{i\in\mathbb{N}}a_{i}t^{i}. \end{eqnarray}$ So weit, so gut. Unser Prof hat den Beweis mit dem Hinweis, dass dies eine gute Übung sei, ausgelassen. Nehmen wir mal als gegeben an, dass $\begin{eqnarray} \Phi_{t} \end{eqnarray}$ ein Ringhomomorphismus ist, und dass wir die Eindeutigkeit bereits bewiesen haben. Dann bleibt ja noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \Phi_{t} \end{eqnarray}$ ein R-Algebrahomomorphismus ist. Dazu müsste ich ja zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} r\in R,\sum\limits _{i\in\mathbb{N}}a_{i}T^{i}\in R[T] \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \Phi_{t}(r\cdot\sum\limits _{i\in\mathbb{N}}a_{i}T^{i})=r\cdot\sum\limits _{i\in\mathbb{N}}a_{i}t^{i}, \end{eqnarray}$ wobei hier die äußeren Produkte benutzt werden, d.h. die Kurzschreibweise in der die zu R[T] und A gehörigen Homomorphismen weggelassen werden. Hier ist genau mein Problem, denn über A (und somit über den zugehörigen Homomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi_{A}:R\to A \end{eqnarray}$ ) weiß ich ja gar nichts. Wie soll ich da denn zeigen, dass das gilt?
02.05.2012, 20:55	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zu Polynomringen Dürfte das nicht einfach folgendes sein? $\begin{eqnarray} \Phi_{t}(r\cdot\sum_{i\in\mathbb{N}}a_{i}T^{i})=\Phi_{t}(\sum_{i\in\mathbb{N}}(r\cdot a_{i})T^{i})=\sum_{i\in\mathbb{N}} (r\cdot a_{i})t^{i}=r\cdot\sum_{i\in\mathbb{N}}a_{i}t^{i} \end{eqnarray}$ Bin mir gerade nicht ganz sicher, aber es sieht zumindest plausibel aus r*a ist ja in A, daher kann man die Definition von Phi anwenden und das r direkt wieder aus der Summe ziehen.

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