[Rekursive Folgen]

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BatistaVK Auf diesen Beitrag antworten »
[Rekursive Folgen]
Hallo, ich stehe vor einer Aufgabe, die ich in dieser Form noch nicht gesehen habe, hier erst mal die Aufgabenstellung:


Sei de finiert mit und Bestimmen Sie die explizite Form des allgemeinen Folgenglieds und überprüfen Sie diese durch vollständige Induktion.

Ist die Folge konvergent? Falls ja, berechnen Sie den Grenzwert.



Das ist die Aufgabenstellung, im Prin zip weiß ich was ich da machen muss, nur etwas ist bei dieser Aufgabe anders und ich habe Probleme damit. Es geht um . Ich soll erst die explizite Form des allgemeinen Folgendgliedes bestimmen.

Mein Ansatz wäre, das ich erst einmal ein Paar Folgen ausrechne und so, auf die explizite Form komme, nur wie soll ich es ausrechnen?

hier fehlt mir das um weiter zu rechnen... oder ich bin gerade auf dem Schlauch.


Wäre dankbar, für einen Tip, wie ich die Folgengleider rechnen soll und für einsetzen kann.


Oder ist hier einfach
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dir bewußt, daß diese rekursive Definition letztlich eine unendliche Reihe definiert? Was ist deren allgemeines Summenglied? Und vielleicht hast du schon einmal von einer Teleskop-Summe gehört ...
BatistaVK Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ist dir bewußt, daß diese rekursive Definition letztlich eine unendliche Reihe definiert? W


Nein, das habe ich leider nicht erkannt. unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »





liefert







Und so weiter. Allgemein gilt:

BatistaVK Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, jetzt habe ich es erkannt, werde versuchen die angegebene Folge daran anzupassen uns so die explizite Formel berechnen.
BatistaVK Auf diesen Beitrag antworten »

So, bin nun etwas weitergekommen:





Nun, folgt die Teleskopsumme:









Also ist diese Rekursive Folge divergent?


Muss aber noch die explizite Formel per Induktion beweisen.

Ist das jedoch so in etwa in Ordnung?
 
 
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also ist diese Rekursive Folge divergent?

Nein. - Und vom Rest ist soviel falsch, dass es sich nicht lohnt, Fehler einzeln zu korrigieren ...

Vorsicht - Teleskopsummen
Aus der Def. der folgt für



Dies summiert man links wie rechts auf (Stichwort: Doppel-Teleskop) für , sodass

für

Daraus musst Du natürlich noch (wie gefordert) ...
(1) die allg. Form von bestimmen
(2) die Frage der Konvergenz beantworten
BatistaVK Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort, nur was ich nicht verstehe ist dieses Doppelteleskop, habe noch nie davon gehört, und warum klappt hier das "einfache Teleskop" nicht?
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Denke bitte in Zukunft länger als 3 Minuten über ...

Zitat:
Dies summiert man links wie rechts auf

nach ...
BatistaVK Auf diesen Beitrag antworten »

'Tschuldige, habs jetzt gesehen. smile Wollte eigentlich das Gleiche machen, nur ich hatte mit angefangen gehabt, welches, wenn ich jetzt das so sehe, falsch war.


Die Frage der Konvergenz ist ja druch die Doppelte Teleskopsumme leicht gezeigt, und sollte doch 1 betragen?
BatistaVK Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bestimme ich hier aber das allgemeine Habe so was noch nie gemacht...
BatistaVK Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, glaube, dass ich die expilizite Formel für gefunden habe:

für


Einige Berechnungen haben mir gezeigt, das für sein müsste, und beim einsetzen passt es auch.


Nun aber, ich soll das mit Induktion beweisen, leider fehlt mir da jeglicher Ansatz.
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Überführung der Formel braucht man nix zu berechnen ... man ersetzt etwas (bestenfalls).

Nachdem Du herausgefunden hast, zeige dass diese Formel der Rekursionsbeziehung (incl. Anfang) genügt.
BatistaVK Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die super Idee, der Induktionsschritt ist mir dadruch leicht gelungen, und das, was zu zeigen war, erreicht.

Vielen Dank!
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