quadratische Gleichung: b=0, wenn Parabel symmetrisch zur y-Achse?

02.05.2012, 21:12

mrclndr

quadratische Gleichung: b=0, wenn Parabel symmetrisch zur y-Achse?

Zitat:

Ein Bierfass ist 8 dm hoch. Sein Durchmesser beträgt in der Mitte 8 dm und am Rand 6 dm. Die Fassdauben haben die Form einer Parabel.
a) Zeichne das Fass in ein geeignetes Koordinatensystem ein und ermittle die Funktionsgleichung der Parabel (quadratische Funktion).
(Lösung: y = (-1/16) * x^2 + 4)

Wir haben angenommen, dass die Funktionsgleichung die allgemeine Form f(x) = ax^2 + bx + c hat. Aber in der Lösung fällt bx weg. Die Erklärung im durchgerechneten Beispiel lautet: b=0, weil die Parabel symmetrisch zur y-Achse ist. Aber wir können dies nicht nachvollziehen. Warum ist b dann 0? Was ist in dem Fall überhaupt b? Wir haben immer nur die allgemeine Parabelformel angewandt (y=2px), da ist nie ein b vorgekommen. Auch im Unterrichtsbuch (die Aufgabe ist aus einem anderen Übungsbuch) kommt nie ein b vor.

Unter diesem Link befindet sich eine Photographie des durchgerechneten Beispieles mit Skizze.

Wink

lg vera

, marsl

02.05.2012, 21:59

Nubler

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gleich etwas allgemeiner:

du hast eine quadratische funktion der form $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

in die scheitelpunktsform umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \end{eqnarray*}$

nun betrachten wir:

$\begin{eqnarray*} f \left(-x-\frac{b}{2a} \right)-f \left(x-\frac{b}{2a} \right) \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} a\left(\left(-x-\frac{b}{2a} \right)+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}-a\left( \left(x-\frac{b}{2a} \right)+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{4ac-b^2}{4a}=0 \end{eqnarray*}$

dies bedetet:

eine parabel ist immer achsensymmetrisch bezüglich der parallele zur y-achse, die durch den scheitel geht.
die gleichung von der gerade ist $\begin{eqnarray*} x=-\frac{b}{2a} \end{eqnarray*}$

in deinen fall soll dies die y-achse sein, also x=0

damit folgt sofort, dass b=0 gelten muss

02.05.2012, 22:15

mrclndr

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hi

Vielen Dank für deine Antwort! Aber wir wissen leider nichts von der Scheitelpunktsform. Das haben wir in der Schule nie gemacht.

Wir verstehen die Sache mit der Parallele von y. Aber wir verstehen nicht, wie du auf die Geradengleichung der Parallele oder auf die Geradengleichung von y kommst, weil wir nicht verstehen, was die Scheitelpunktsform ist und welche Rechenschritte du unternimmst. Könntest du das nochmal genauer erläutern?

lg vera Tanzen

, marsl

02.05.2012, 23:41

Nubler

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irgendwie seltsam, dass ihr die noch nicht hattet...

im spezialfall der symmetrie zur y-achse kann man dies hier auch umgehen:

achsensymmetrie zur y-achse bedeutet:

$\begin{eqnarray*} f(x)-f(-x)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$ für alle x

soll eine parabel symmetrisch zur y-achse sein, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c-\left(a(-x)^2+b(-x)+c\right)=ax^2+bx+c-ax^2+bx-c=2bx\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$

da des für alle x gelten muss, muss b=0 sein

03.05.2012, 18:39

mrclndr

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Wir haben es endlich verstanden! Vielen Dank!

lg vera Tanzen

, marsl

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