Betrag vom Kreuzprodukt

02.05.2012, 19:53

moclus

Betrag vom Kreuzprodukt

Ich möchte den Betrag vom Kreuzprodukt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wende nun den Pythagoras darauf an ...

$\begin{eqnarray*} | \vec{a} \times \vec{b} | = \sqrt{(-15)²+1²+10²} = \sqrt{326} \end{eqnarray*}$

das ist ja alles gut möglich auf dem Wege.

Wenn ich aber mit dem eingeschlossenen Winkel Sinus rechnen will kommt bei mir immer 8 raus.

Als ich Skalarprodukte mit Beträgen berechnet hab, hat das funktioniert.
$\begin{eqnarray*} |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| * cos(\varphi) \end{eqnarray*}$
leider kenn ich die schreibweise für den eingeschlossenen winkel nicht.

Um den Winkel rauszubekommen habe ich:

$\begin{eqnarray*} cos(\varphi)= \frac{\vec{a} *\vec{b} }{|\vec{a} |*|\vec{b}| } \end{eqnarray*}$

gerechnet und das hat beim skalarprodukt gut funktioniert.

Mit der Rechenmethode bekommt man allerdings das gleiche raus wie bei der normalen Skalarmultiplikation. Die Rechnung mit Beträgen beim Kreuzprodukt sollen ja auch auf den Betrag führen, und nicht auf das eigentliche Ergebnis der Kreuzproduktberechnung ..

was mach ich hier falsch??

edit: Wenn ich versuche den Winkel des Kreuzprodukts rauszukriegen ersetze ich natürlich cosinus mit sinus

02.05.2012, 20:10

Leopold

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Als Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwischen den Vektoren ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \varphi = 66{,}10 \ldots ^{\circ} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \sqrt{30} \cdot \sqrt{13} \cdot \sin \varphi \end{eqnarray*}$ gibt dann wieder $\begin{eqnarray*} \sqrt{326} \end{eqnarray*}$ . Das paßt alles.

02.05.2012, 20:10

Che Netzer

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RE: Betrag vom Kreuzprodukt
Edit: Ah, wenn mit dem Winkel dann noch weitergerechnet wird, um auf die Fläche zu kommen, ergibt das wieder mehr Sinn. Ich finde die Frage trotzdem recht unklar gestellt verwirrt

Zitat:

Original von moclus
Wenn ich aber mit dem eingeschlossenen Winkel Sinus rechnen will kommt bei mir immer 8 raus.

Du rechnest mit einem Winkel Sinus und dann kommt 8 raus.
Was bitte soll das bedeuten?
Der Sinus von einem Winkel sollte besser nicht 8 sein.

Zitat:

Um den Winkel rauszubekommen habe ich:

$\begin{eqnarray*} cos(\varphi)= \frac{\vec{a} *\vec{b} }{|\vec{a} |*|\vec{b}| } \end{eqnarray*}$

gerechnet und das hat beim skalarprodukt gut funktioniert.

Ja, eine Formel, die das Skalarprodukt verwendet, wird "mit dem Skalarprodukt" wohl auch funktionieren.

Zitat:

Mit der Rechenmethode bekommt man allerdings das gleiche raus wie bei der normalen Skalarmultiplikation. Die Rechnung mit Beträgen beim Kreuzprodukt sollen ja auch auf den Betrag führen, und nicht auf das eigentliche Ergebnis der Kreuzproduktberechnung ..

Das verstehe ich wieder nicht. Skalarmultiplikation ist die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (in diesem Fall). Meinst du damit die Normierung also die Division durch die Beträge von a und b?
Und welche Rechnung mit Beträgen wovon "beim Kreuzprodukt" soll auf welchen Betrag führen?

Allgemein ist der Betrag des Kreuzprodukts die Fläche des Parallelogramms, dass die Vektoren a und b einschließen.

Zitat:

edit: Wenn ich versuche den Winkel des Kreuzprodukts rauszukriegen ersetze ich natürlich cosinus mit sinus

Ein Kreuzprodukt (also ein Vektor) hat keinen Winkel.

Was genau hast du gerechnet, mit welchem Ziel, was ist dabei herausgekommen und was ist das Problem?
Es kann sein, dass es an mir liegt, aber ich verstehe deine Frage nicht...

mfg,
Ché Netzer

02.05.2012, 20:15

moclus

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Che Netzer du hast schon recht ich hab total wirr geschrieben ... !

Also ich habe das so verstanden:

Der Betrag des Kreuzproduktes ist die Fläche des Parallelograms das aufgespannt wird.

Ist dies korrekt?

mh ... könntest du mir einen Hinweis geben wie du auf den Winkel gekommen bist?

danke im voraus smile

edit: ich habs verstanden!

trotzdem danke an euch smile

))

edit²: jedoch hab ich noc heine frage: Der Betrag des kreuzprodukts, entspricht er der Länge, so wie der Fläche als Maßzahl?

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