Differenzierbar?

24.01.2007, 17:36

Harald Kurse

Differenzierbar?

Ich soll zeigen dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} p_a(q)=a^q \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und soll die Ableitung bestimmen.

Ich muss dann also wohl zeigen, dass für jedes a folgender Grenzwert existiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{a^{z+h}-a^z}{h} \end{eqnarray*}$

Mit Umformen gibt das dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^z(a^h-1)}{h} \end{eqnarray*}$

aber danach weiss ich nicht mehr weiter.

Für eine kleine Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Gruss, Harald

24.01.2007, 17:42

brain man

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{exp_{a}(z+h)-exp_{a}(z)}{h}= exp_{a}(z)* \lim_{h \to 0}\frac{exp_{a}(h)+1}{h} \end{eqnarray*}$ sollte helfen.

24.01.2007, 18:03

Harald Kurse

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Mein Problem ist jetzt eben, dass der Nenner gegen 0 strebt, und ich so keine Aussage über den Grenzwert machen kann.

25.01.2007, 09:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von brain man
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{exp_{a}(z+h)-exp_{a}(z)}{h}= exp_{a}(z)* \lim_{h \to 0}\frac{exp_{a}(h)+1}{h} \end{eqnarray*}$ sollte helfen.

Gemeint ist wohl:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{exp_{a}(z+h)-exp_{a}(z)}{h}= exp_{a}(z)* \lim_{h \to 0}\frac{exp_{a}(h)-1}{h} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} exp_{a}(z) = a^z \end{eqnarray*}$ ist, ist man so aber auch keinen Schritt weiter.

@Harald Kruse: es kommt drauf an, welche Kenntnisse der e-Funktion du mitbringst. Helfen können da folgende Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} a^h = e^{h \cdot ln(a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x \geq 1 + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^x \leq 1 + x + x^2 \end{eqnarray*}$ für |x| < 1

Damit kannst du $\begin{eqnarray*} \frac{a^h-1}{h} \end{eqnarray*}$ jeweils für h > 0 bzw. h < 0 geeignet nach oben bzw. nach unten abschätzen.

28.01.2007, 19:19

Harald Kurse

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ok danke, damit kriege ich folgendes

$\begin{eqnarray*} ln(a) \leq \lim_{h \to 0} \frac{a^h -1}{h} \leq ln(a) \end{eqnarray*}$

mein Problem ist jetzt allerdings, dass ich die beiden Abschätzungen noch gar nicht kenne. Wie leitet man die her, oder gibts allenfalls einen einfacheren Weg, um zu zeigen, dass der Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \frac{a^h -1}{h} \end{eqnarray*}$

existiert?

28.01.2007, 19:47

klarsoweit

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Die Abschätzungen kann man mit der Potenzreihenentwicklung der e-Funktion zeigen (ist auch nicht so schwer). Wenn du die e-Funktoin kennst und weißt, daß diese differenzierbar ist und wie die Ableitung aussieht, dann hilft die simple Umformung:
$\begin{eqnarray*} a^q = e^{q \cdot ln(a)} \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 20:23

Harald Kurse

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Taylorreihen hatten wir leider noch nicht.

Den anderen Weg, den du ansprichst, sieht dann folgendermassen aus?

$\begin{eqnarray*} (a^q)' = (exp(q \cdot ln(a))' = exp'(q \cdot ln(a)) \cdot (q \cdot ln(a))' = exp(q \cdot ln(a)) \cdot ln(a) = a^q \cdot ln(a) \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

29.01.2007, 08:28

klarsoweit

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Im Prinzip ja, wobei mir die Schreibweise nicht so gefällt, weil das Zeichen ' nichts darüber aussagt, nach welcher Variablen differenziert wird.

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