Ideale in Ringen |
| 03.05.2012, 10:40 | b00n12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Ideale in Ringen Hi, ich habe ein kleines Problem zu verstehen was ich mir unter einem Ideal und unter einem Hauptideal vorstellen kann. Ich kenne die Definition eines Ideals. Gegeben ist ein Ring R, für x Element von R ist <x> = { r * x | r Element von R} das Hauptideal. Ein Ideal wäre ja <x1, x2, .... xn> = { r1 * x1 + .... rn * xn | r1 ... rn Elemente von R} Außerdem weiß ich das in jedem Ring R, R selbst und {0} Ideale sind. Was ich bräuchte wäre einfach mal eine Grundlegende Erklärung was Ideale sind bzw. was sie mir bringen weil ich das Gefühl habe sie selber noch nicht ganz verstanden zu haben. Und wie sie mit anderen Dingen zusammenhängen. Desweiteren wüsste ich auch nicht welche anderen Ideale es denn außer ganz R und 0 noch geben sollte ? Meine Ideen: So weit ich das beurteilen kann sind in einem Ideal immer die Vielfachen enthalten der Zahl enthalten ... |
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| 03.05.2012, 11:03 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » |
-Ein Ideal I ist gerade so gebaut dass R/I kanonisch wieder ein Ring ist. -Ideale kommen von "idealen Zahlen", eine Verallgemeinerung der Eigenschaften der Menge alle durch eine Primzahl p teilbaren ganzen Zahlen, dem Ideal (p). (runde klammern für Ideale sind üblicher als eckige) -Ein Ring R der nur die Ideale (0) und R hat ist ein Schiefkörper; ist er also zusätzlich noch kommutativ so ist er bereits ein Körper. -Die ganzen Zahlen haben die Ideal (n), für beliebige ganze Zahlen n; für sind dies echte Teilmengen der ganzen Zahlen. -Der Ring enthält das Ideal (2,X) das kein Hauptideal ist. -Die Menge ist ein Ideal, hat aber kein endliches Erzeugensystem (sowas:<x1, x2, .... xn>; der Beweis davon ist etwas tricky) |
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| 03.05.2012, 11:18 | b00n 12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du bist nur zum Teil auf mein eigentliches Problem eingegangen, dass ich mir wirklich wenig darunter vorstellen kann oder wie man zB darauf kommt was das Ideal bei Z[X] ist. |
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| 03.05.2012, 11:27 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sorry dass ich mir die Mühe gemacht habe dir ein paar Beispiele hinzuschreiben, die wenn man sie sich mal genauer anschaut die Vorstellung des abstrakten Konzepts Ideal verbessern können (da jeder anders denkt ist es praktisch unmöglich dass auf einen speziellen genau zuzuschneiden) Leider ist es mir unmöglich per Ferndiagnose alle deine Probleme in 5 Minuten zu beheben. |
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