Chebychev und Zentralen Grenzwertsatz anwenden

03.05.2012, 12:13	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
Chebychev und Zentralen Grenzwertsatz anwenden Ich hab hier ein Beispiel zu lösen, es wurde eigentlich in Englisch gestellt, ich hoffe, ich übersetze alles richtig: Angenommen $\begin{eqnarray} \bar{X} \end{eqnarray}$ ist der Mittelwert von 100 unabhängigen Beobachtungen mit Erwatungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2=9 \end{eqnarray}$ . Finden Sie Grenzen zwischen denen $\begin{eqnarray} \bar{X}-\mu \end{eqnarray}$ mit Wahrscheinlichkeit 0,9 liegt. Benutzen Sie die Chebychev Ungleichung und den Zentralen Grenzwertsatz (Es steht hier Central Theorem, aber ich nehme an, dass Central Limit Theorem gemeint ist) Welches von Beiden gibt das kürzere Intervall und auf welche "Kosten" Ich hab jetzt mal versucht das mit der Ch-Ungleichung zu lösen, ich hab diese Variante benutzt: $\begin{eqnarray} P(\|X-\mu\|<k)\geq 1-\frac{\sigma^2}{k^2} \end{eqnarray}$ und nun bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig angewandt habe, im Grunde habe ich mich nur um die rechte Seite gekümmert um so das k zu erhalten: $\begin{eqnarray} 0,9=1-\frac{\sigma^2}{k^2} \end{eqnarray}$ und dann erhalte ich wenn ich für $\begin{eqnarray} \sigma^2=9 \end{eqnarray}$ einsetze k=9,486 Stimmt das bis hier hin? Was sagt mir das jetzt eigentlich aus? Dass die Diffenerz von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar{X} \end{eqnarray}$ mit mind. 0.9 Wahrscheinlichkeit kleiner ist als 9,486? Wie gehe ich nun beim Grenzwertsatz vor, ich finde da keine wirklich passende Version, mit der ich arbeiten kann.
06.05.2012, 03:22	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
[Komplettlösung entfernt] btw.: ich hab selbst noch eine offene Frage! Siehe dazu: Betragsungleichung mit Wurzel Zellerli: Auch wenn du dir viel Mühe gegeben hast, sind Komplettlösungen gemäß dem Boardprinzip unangebracht. Wenn du den Weg zur Lösung weißt, solltest du den Hilfesuchenden mit gezielten Fragen und Tipps auf diesen Weg bringen, sodass er die Aufgabe selbst löst. Im Übrigen ist auch Werbung für eigene laufende Threads in anderen Threads nicht angebracht!
06.05.2012, 20:45	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tschebyscheff-Ungleichung ist schonmal richtig gewählt. Allerdings bildest du ja nicht die Abweichung $\begin{eqnarray} \|X-\mu\| \end{eqnarray}$ sonder $\begin{eqnarray} \|\overline{X}-\mu\| \end{eqnarray}$ . Die Varianz von X ist $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ aber die Varianz von $\begin{eqnarray} \overline{X} \end{eqnarray}$ ist eine andere! Folglich ist die Wahrscheinlichkeit auch eine andere. (Der zweite Summand auf der rechten Seite stimmt nicht ganz!!!)
06.05.2012, 20:48	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Zentralen Grenzwertsatz ist folgendes zu sagen: Wenn du nichts über eine Verteilung weißt, kann man ja über den Zentralen Grenzwertsatz approximativ von normalverteilten Zufallsvariablen ausgehen. Und zu guter letzt: Du suchst vermutlich ein Konfidenzintervall für den tatsächlichen Erwartungswert, für den das Stichprobenmittel ein erwartungstreuer Schätzer ist.
08.05.2012, 15:33	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe, habs hinbekommen

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