Einsetzungshomomorphismus

03.05.2012, 12:55

Si5ypho5

Einsetzungshomomorphismus

Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und $\begin{eqnarray*} \alpha \in R \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \phi : R[T]\to R, f\mapsto f(a) \end{eqnarray*}$ der Einsetzungshomomorphismus.
a) Aus welchen Polynomen besteht ker( $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ) für a=0?
b) Es gilt ker $\begin{eqnarray*} (\phi)=(T-a) \end{eqnarray*}$ , d.h. das der Kern das von (T-a) erzeugte Hauptideal in $\begin{eqnarray*} R[T] \end{eqnarray*}$ ist.

okay, also zu meinen bisheriegen gedanken:

Zu a)
Der Kern eines Ringhom. ist ein Ideal. Das kann man leicht zeigen. Doch was genau bedeutet es, wenn a=0 gesetzt wird? Heißt es, dass alle t durch 0 ersetz werden? is hier der kern also $\begin{eqnarray*} (t) \end{eqnarray*}$ ?

zu b)
in a) hatten wir a=0, das heißt hier wird nun der allgemeine fall betrachtet? wie kann ich das zeigen?

03.05.2012, 13:41

Mulder

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RE: Einsetzungshomomorphismus
Ja, es wird einfach für T ein Element aus dem Ring R eingesetzt. Daher der passende Name "Einsetzungshomomorphismus". Augenzwinkern

Die Abbildung ordnet jedem Polynom seinen "Funktionswert" an der Stelle a zu.

In a) ist der Kern einfach das von T erzeugte Hauptideal, genau. Das Absolutglied muss bei einem Polynom ja 0 sein, damit 0 eine Nullstelle des Polynoms ist.

In b) wird es nun allgemeiner, ja. Damit ein Polynom im Kern liegt, muss es an der Stelle a eine Nullstelle haben. Vergleich das mit Aufgabe a): Dort war der Kern das von (T-0) erzeugte Hauptideal.

Zeige beide Inklusionen:

$\begin{eqnarray*} \ker(\phi) \subset (T-a) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (T-a) \subset \ker(\phi) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Gleichheit.

03.05.2012, 14:48

Si5ypho5

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okay danke schonmal smile

noch ganz kurz, damit ich nicht gleich falsh anfange:

ein elemente aus $\begin{eqnarray*} (T-a) \end{eqnarray*}$ (einem hauptideal) sieht doch so aus:
$\begin{eqnarray*} (x)=Rx=\{rx:r\in R\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (T-a)=\{t-a:a\in R\} \end{eqnarray*}$
oder?

03.05.2012, 16:47

Mulder

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Zitat:

Original von Si5ypho5
okay danke schonmal smile

Ja, wobei R hier unser Polynomring K[T] ist und r entsprechend eben Polynome.

$\begin{eqnarray*} (t) = \{t \cdot f \, | f \in R[T] \} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Si5ypho5
$\begin{eqnarray*} (T-a)=\{t-a:a\in R\} \end{eqnarray*}$

Das ist Unsinn.

$\begin{eqnarray*} (T-a) = \{(T-a) \cdot f \, | f \in R[T] \} \end{eqnarray*}$

03.05.2012, 21:25

Si5ypho5

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okay hab jetzt schon zeigen können das der Kern ein Ideal ist. aber das das ideal (t-a), bzw. ein hauptideal sein muss, da haperts noch, denk ich^^

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=a_+a_1x+...+a_kx^k \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \phi (f(x))=a_o+a_1+...+a_k=0 \end{eqnarray*}$ .
Somit ist $\begin{eqnarray*} f(x)\in ker(\phi ) \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} g(x)\in ker(\phi ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=b_0+b_1x+...+b_nx^n \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} 0=\phi (g(x))=b_0+b_1+...+b_n \end{eqnarray*}$ .
Somit ist $\begin{eqnarray*} g(x)\in I \end{eqnarray*}$ .

So nun zu $\begin{eqnarray*} I=(x-a) \end{eqnarray*}$ :
Sei als $\begin{eqnarray*} f(x)\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=a_0+a_1+...+a_kx^k \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(x-a)\left( a_kx^{k-1}+(a_k+a_{k-1})x^{k-2}+...+(a_k+a_{k-1}+...+a_2)x+(a_k+...+a_2+a_1)\right) \end{eqnarray*}$
Somit ist $\begin{eqnarray*} f(x)\in (x) \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} g(x)=b_0+b_1x+...+b_nx^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)\in (x-a) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g(a)=(a-a)h(a)=0*h(a)=0 \end{eqnarray*}$ .
Somit ist $\begin{eqnarray*} g(x)\in I \end{eqnarray*}$ .

03.05.2012, 22:01

Mulder

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Herrje, was wird das denn jetzt alles? verwirrt

Schreib die Polynome nicht aus mit diesem ganzen Koeffizienten-Gemüse, das ist doch bloß unnötige Schreibarbeit. Und es sind auch Fehler drin. Warum sollte

$\begin{eqnarray*} \phi(f(x)) = a_0 + a_1 + ... +a_k =0 \end{eqnarray*}$

sein? verwirrt

Stimmt doch überhaupt nicht. Du setzt jetzt für t einfach 1 ein. Wieso? Dann taucht plötzlich irgendein $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ auf, das nicht näher definiert wird.

Zitat:

okay hab jetzt schon zeigen können das der Kern ein Ideal ist.

Der Kern eines Ringhomomorphismus ist immer ein Ideal. Das zu zeigen ist überhaupt nicht die Aufgabe. Und wenn du dich einfach stur an das hälst, was ich oben geschrieben habe, musst du dich mit dem Begriff "Hauptideal" auch gar nicht rumschlagen, das würde sich von selber ergeben.

Der Beweis für $\begin{eqnarray*} (T-a) \subset \ker(\phi) \end{eqnarray*}$ zum Beispiel ist superkurz: Sei $\begin{eqnarray*} f \in (T-a) \end{eqnarray*}$ . Dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Gestalt $\begin{eqnarray*} f= (T-a) \cdot g \end{eqnarray*}$ mit irgendeinem $\begin{eqnarray*} g \in R[T] \end{eqnarray*}$ . Einsetzen von a liefert $\begin{eqnarray*} \phi(f) = f(a) = (a-a) \cdot g(a)=0 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} f \in \ker(\phi) \end{eqnarray*}$ . Fertig.

Es bleibt noch $\begin{eqnarray*} \ker(\phi) \subset (T-a) \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Auch dafür musst du das nicht auch noch ausrechnen. Es reicht, zu wissen, dass man den Linearfaktor (T-a) abspalten kann, wenn a eine Nullstelle ist.

03.05.2012, 23:50

Si5ypho5

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okay also so?

Sei $\begin{eqnarray*} f\in ker(\phi) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \phi(f)=f(a)=0 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ offentsichtlich eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Da wir den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} (T-a) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abspalten können, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} g\in R[T] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g=f/(T-a) \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} f=(T-a)*g \end{eqnarray*}$ ). Somit liegt $\begin{eqnarray*} f\in (T-a) \end{eqnarray*}$ , da es durch die obrige Form dargestellt werden kann.

03.05.2012, 23:53

Mulder

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Ja, das sollte reichen. Auf die Schreibweise g=f/(t-a) würde ich verzichten, belass es bei f=(t-a)*g.

04.05.2012, 00:03

Si5ypho5

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erstmal vielen dank smile

!

Haha, dann mal hoffen dass die mir keinen reinwürgen, denn der satz wird erst montag NACH der abgabe kommen Big Laugh

ist satz 1 im neuen kapitel... kann ich das noch iwie anders begründen, dass man $\begin{eqnarray*} (T-a) \end{eqnarray*}$ abspalten kann?

Und wie genau sieht ein polynom aus $\begin{eqnarray*} (t) \end{eqnarray*}$ denn nun aus?

Sei $\begin{eqnarray*} f\in(T-0)=(T) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in R[T] \end{eqnarray*}$ . Hat dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die folgende Gestalt
$\begin{eqnarray*} f=(T-0)*g=(T)*g=(t)*a_o+a_1x+...+a_nx^n \end{eqnarray*}$ ?

04.05.2012, 00:24

Mulder

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Zitat:

Original von Si5ypho5
Haha, dann mal hoffen dass die mir keinen reinwürgen, denn der satz wird erst montag NACH der abgabe kommen Big Laugh

ist satz 1 im neuen kapitel... kann ich das noch iwie anders begründen, dass man $\begin{eqnarray*} (T-a) \end{eqnarray*}$ abspalten kann?

Hmm...?

Also der klassiche Weg, das zu zeigen, wäre eben über die Division mit Rest im Polynomring. Ich find's eigenartig, wenn ihr das nicht hattet. Ein anderer Weg, das zu begründen, fällt mir ehrlich gesagt nicht ein (das heißt aber nicht, dass es keinen geben kann).

Zitat:

Original von Si5ypho5
Und wie genau sieht ein polynom aus $\begin{eqnarray*} (t) \end{eqnarray*}$ denn nun aus?

[...]

$\begin{eqnarray*} f=(T-0)*g=(T)*g=(t)*a_o+a_1x+...+a_nx^n \end{eqnarray*}$ ?

Also die letzte Zeile ist jetzt ziemlich Murks. Einmal kleines t, einmal großes T, dann plötzlich taucht x auf... so geht's natürlich nicht.

(t) ist eben das von t erzeugte Hauptideal. Stell dir alle Polynome vor, die es in R[t] gibt. Jedes davon wird mit t multipliziert. Du erhälst also einfach alle Polynome, bei denen man t ausklammern kann.

Damit fallen zum Beispiel die konstanten Funktionen (also die Polynome vom Grad 0) allesamt weg. Auch sowas wie t+1 oder t³+t²+1 entfällt. Der Faktor t muss in jedem Summanden drinstecken, dann liegt das Polynom in (t).

Wenn du es denn unbedingt in der ausführlichen Schreibeweise haben willst: Liegt f in (t), dann hat es die Form

$\begin{eqnarray*} f = \sum_{k=0}^{\text{blub}} a_kt^{k+1} = a_0t + a_1t^2 + a_2t^3 + ... \end{eqnarray*}$

04.05.2012, 00:35

Si5ypho5

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im mom sind wir im kapitel 'Teilbarkeit von Intigritätsringen', was wir montag abschließen und wir bekommen kapitel 'Nullstellen von Polynomen' verwirrt

Wie gesagt satz 1 ist dann genau das ^^ ich lass des jetzt einfach so, sollen sie doch meckern, verstanden hab ichs jetzt (hoffe ich Hammer

), und das zählt ja Big Laugh

vielen dank nochmal Gott

06.05.2012, 16:20

Ronis72

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Hey ich glaube wir haben vielleicht den selben Prof Big Laugh

Also ich habs mit Umformungen versucht, bin mir aber nun nicht ganz sicher ob es sitmmt.

Ich versuch mich nun auch mal zum ersten Mal in Latex, also bei mir siehts so aus:

$\begin{eqnarray*} Sei \quad x \in ker (\phi) So \quad gilt \quad \phi (x) = 0 Also \quad auch T * \phi (x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=T* \phi (x) = \phi (T*x) = \phi (\sum_{i=0}^n b_i * T^{i+1}) = \phi (\sum_{i=0}^n b_i * T^{i+1} \quad -\sum_{i=0}^n b_i * T^{i+1})= \sum_{i=0}^n b_i * a^{i+1} \quad -\sum_{i=0}^n b_i * a^{i+1} = \sum_{i=0}^n b_i * a^{i+1} \quad - \sum_{i=0}^n b_i * a^{i} * a = \phi (\sum_{i=0}^n b_i * T^{i+1}) \quad - \phi (\sum_{i=0}^n b_i * T^{i} *a) \end{eqnarray*}$

Und dann erkennt man, dass $\begin{eqnarray*} x \in (T-a) = \{\sum_{i=0}^n b_i * T^{i+1} \quad - \sum_{i=0}^n b_i * T^{i} * a \} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, bin mir nicht sicher ob da nicht irgendwas falsch ist Augenzwinkern

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