Bijektion bzw Teilbarkeit |
03.05.2012, 13:53 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bijektion bzw Teilbarkeit sitze vor Aussagen, deren Beweis mir Kopfzerbrechen bereitet. Vllt kann mir hier ja jemand auf die Sprünge helfen. Die Aussagen: 1. Es gibt eine Bijektion zwischen R > 0 und R. Hier wurde der Tipp gegeben, eine Funktion zu verwenden, die aus der Schule bekannt ist. 2.Es gibt eine Bijektion zwischen den Mengen IN und Z. 3. Seien m,n und k nat. Zahlen mit m I n und nI k. Dann gilt m I k. ( I soll das teilt Zeichen darstellen, hab im Editor nichts passendes gefunden - sorry) Meine Ideen / Ansätze: 1.) Meine Schulzeit ist schon viel zu lange her, der Tipp sagt mir leider gar nichts. Aber da R ja überabzählbar ist, kann doch keine Bijektion vorhanden sein. 2) Die Aussage ist meiner Meinung nach wahr. Nur an einem ordentlich Beweise bzw Begründung hapert es. Reicht es zu sagen,dass beide Mengen abzählbar sind oder soll ich was mit dem Cantorschen Diagonalargument. 3) Aussage ist wahr wegen der Transitivität der Halbordnung. Ich bezweifle aber stark,dass meine Ideen als Antworten reichen LG Amerika |
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03.05.2012, 14:07 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1) ist genauso überabzählbar. Fält dir keine Funktion ein die nur für positive Werte definiert aber alle reellen Werte erreichen kann? (Eine der Standardfkt. der Analysis) 2)Dass abzählbar ist, ist nach Def. nichts anderes als dass eine Bijektion zwischen natürlichen und ganzen Zahlen existiert. Die Aufgabe zeigt man wohl am Besten durch explizite Angabe einer Bijektion. Zerlege IN in zwei Mengen, bilde die eine bij. auf die positiven, die andere auf die negativen Zahlen ab. (falls 0 eine natürliche Zahl ist die nicht vergessen) 3) Es gibt auf qwertz-tastaturen ein | (Alt Gr und < gleichzeitig). Die Aussage ist wieder gleichbeutend mit deiner Begründung. Benutze die Def. von | um die Transitivität zu zeigen. |
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03.05.2012, 14:28 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Soase, vielen Dank für deine Antwort. Ich versuch mal mein Bestes. Zur Aussage das zwischen N und Z eine Bijektion ist. \left\{ 1, 2, 3, 4,5\right\} ( \left\{ -3, -2. -1, 0,1, 2\right\} dann könnte ich doch die 1 auf die -1 abbilden, die 2 auf die 0, die 3 auf die -2, die 4 auf die 1 und dann die 5 auf die -3 sprich: bilde 2n -1 auf auf -n ab ( \geq 1) bilde 2n auf n -1 ab ( \geq 1) Zur Aussage 1: Hmm, mir fällt keine Funktion ein Zur AUssage 3 muss ich nochmal überlegen |
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03.05.2012, 14:54 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur Aussage 3: hier mein Versuch die teilbarkeitsrelation zu beweisen: a | b -> a * n = b b| c -> b * m = c nach b auflösen: b = umgeformtes b einsetzen a *n = a *n*m = c -> a| c |
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03.05.2012, 15:03 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Bijektion sieht gut aus. zur 3) ein paar Anmerkungen (der Beweis ist prinzipiell richtig) a|b ist definiert als (also ein genau dann wenn, nicht nur eine Folgerung) Aus a*n=b und b*m=c folgt direkt durch einsetzen der ersten gleichung in die zweite a*n*m=c (und damit hast du die Existenz einer solchen Darstellung bewiesen, also a|c). 1)log |
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03.05.2012, 15:12 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Tipp mit dem log. Bringt mich leider absolut nicht weiter. Es ist doch so, dass ich beweisen muss - anscheinend mit log - das keine Bijektion vorhanden ist,oder? Sprich ein "einfaches Gegenbeispiel" reicht. |
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03.05.2012, 15:19 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dächte ich hätte damit
schon darauf hingewiesen (wie wohl auch deine Aufgabenstellung), dass es eine solche Abbildung, die die auch netterweise sogar angegeben hab gibt. Und wie du die Nicht-Existenz von etwas (hier: einer Bijektion) mit einem Gegenbeispiel zeigen willst ist mir auch nicht klar. |
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03.05.2012, 15:30 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich habe das mit ist auch überabzählbar gelesen. Aber dann hab ich wohl ein Denkfehler. Ich habe hier eine Definition: Eine unendliche Menge heißt abzählbar,wenn es eine Bijektion f: N -> M gibt. Wenn es keine solche Bijektion gibt,heißt M überabzählbar. Daraus hab ich den Trugschluss, R ist überanzählbar deswegen eben keine Bijektion. Es tut mir leid,aber ich komm da nicht weiter |
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03.05.2012, 15:37 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig ist , aber die natürlichen Zahlen kommen in der 1) doch gar nicht vor. Weise doch einfach nach, dass bijektiv ist. |
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03.05.2012, 15:52 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Einfach ist gut ich muss doch jetzt die Injektivität und danach die Surjektivität beweisen. Aber wie |
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03.05.2012, 15:55 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist die Def. von injektiv/surjektiv ? Anwenden der Def. des Logarithmus reicht dafür bereits. |
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03.05.2012, 16:03 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Definition von Injektivität : f ist injektivität, wenn zu jedem Element aus der Zielmenge höchstens ein ein Element aus der Definitionsmenge existiert. Definition von Surjektivität : f ist surjektiv,wenn zu jedem element aus der Definitonsmenge mind! ein Element der Zielmenge zugeordnet werden kann. |
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03.05.2012, 16:09 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Umgangssprachliche Def. sind schön um sie sich zu merken, zum Beweisen eher weniger: ist injektiv, falls ist surjektiv, falls . Also hier: -log(x)=log(y), zu zeigen x=y -für jede reelle Zahl y, existiert eine positvie reelle Zahl x: log(x)=y . Wie sieht dieses x in Abhängigkeit von y aus? |
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03.05.2012, 16:28 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, kann ich für den Beweis das 1. Cantorsche Diagonalargument nehmen? Ich versteh es einfach nicht. |
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03.05.2012, 16:35 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es tut mir leid das sagen zu müssen, aber du hast bei mir grade einen Facepalm ausgelöst. Ich hab doch grade geschrieben was du machen sollst. Statt das auszuführen oder was dazu zu fragen willst du einfach irgendwas anderes machen. Und für welchen Beweis eigentlich genau? (die frage ist rhetorisch.) Außerdem habe ich den Verdacht, dass du keine Ahnung hast was der Logarithmus ist. Das wäre sehr bedenklich. |
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03.05.2012, 16:48 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, der Logarithmus ist die Umkehroperation des Potenzierens. Sorry für meine Dummheit,dennoch möchte ich es gerne verstehen. |
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03.05.2012, 17:00 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, was ist hieran unklar?
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03.05.2012, 17:04 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Unklar ist, wie ich es zeigen soll. Ich habe ein Problem,wie ich das mit den Variablen zeigen soll. |
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03.05.2012, 17:09 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was würdest du tun um diese Gleichung zu lösen: log(x)=log(5) |
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03.05.2012, 17:20 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde folgendes machen: log(x) = log (5) x =5 Ich muss zugeben, das ich lange nicht mehr mit Logarithmus gerechnet habe. |
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03.05.2012, 17:23 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie kommst du von der einen Zeile in die nächste? |
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03.05.2012, 17:26 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das willst du nicht wissen ich habe mir ein Beispiel mit log(x+2 )= log (6-x) angeschaut und versucht es zu übertragen |
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03.05.2012, 17:31 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. Mathematische Schlußfolgerungen muss man immer begründen (können). 2. Wenn du so massive Defizite im Bereich log/exp-Fkt. hast solltest du dir das genau anschauen. Ich weiß nicht wofür du die Aufgaben brauchst, gehe mal von Uni aus. Da wird davon ausgegangen, dass du den Schulstoff beherrscht. Und dazu gehört Rechnen mit Logarithmen dazu. |
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03.05.2012, 17:40 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mache ich gerade nebenbei. Wenn man log zur Basis a (b) hat rechnet man ja lg (b) durch den lg (a) log(5) ist doch zur Basis 10. Sprich lg5 durch lg 10. |
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03.05.2012, 17:48 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zum logarithmen erklären habe ich offen gesagt keinen Bock. Eröffne für Fragen dazu am besten einen neuen Thread. |
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03.05.2012, 17:53 | Amerika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja ok, verstehe ich. Aber dann komm ich wohl nicht an meine Lösung. Ich möchte es einfach nur verstehen und bemühe mich auf. |
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