Bijektion bzw Teilbarkeit

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Amerika Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion bzw Teilbarkeit
Hallo zusammen,

sitze vor Aussagen, deren Beweis mir Kopfzerbrechen bereitet. unglücklich

Vllt kann mir hier ja jemand auf die Sprünge helfen.

Die Aussagen:

1. Es gibt eine Bijektion zwischen R > 0 und R. Hier wurde der Tipp gegeben, eine Funktion zu verwenden, die aus der Schule bekannt ist.

2.Es gibt eine Bijektion zwischen den Mengen IN und Z.

3. Seien m,n und k nat. Zahlen mit m I n und nI k. Dann gilt m I k. ( I soll das teilt Zeichen darstellen, hab im Editor nichts passendes gefunden - sorry)

Meine Ideen / Ansätze:

1.) Meine Schulzeit ist schon viel zu lange her, der Tipp sagt mir leider gar nichts. Aber da R ja überabzählbar ist, kann doch keine Bijektion vorhanden sein.

2) Die Aussage ist meiner Meinung nach wahr. Nur an einem ordentlich Beweise bzw Begründung hapert es. Reicht es zu sagen,dass beide Mengen abzählbar sind oder soll ich was mit dem Cantorschen Diagonalargument.

3) Aussage ist wahr wegen der Transitivität der Halbordnung.

Ich bezweifle aber stark,dass meine Ideen als Antworten reichen unglücklich

LG Amerika
soase Auf diesen Beitrag antworten »

1) ist genauso überabzählbar. Fält dir keine Funktion ein die nur für positive Werte definiert aber alle reellen Werte erreichen kann? (Eine der Standardfkt. der Analysis)

2)Dass abzählbar ist, ist nach Def. nichts anderes als dass eine Bijektion zwischen natürlichen und ganzen Zahlen existiert.
Die Aufgabe zeigt man wohl am Besten durch explizite Angabe einer Bijektion. Zerlege IN in zwei Mengen, bilde die eine bij. auf die positiven, die andere auf die negativen Zahlen ab. (falls 0 eine natürliche Zahl ist die nicht vergessen)

3) Es gibt auf qwertz-tastaturen ein | (Alt Gr und < gleichzeitig). Die Aussage ist wieder gleichbeutend mit deiner Begründung. Benutze die Def. von | um die Transitivität zu zeigen.
 
 
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Soase,

vielen Dank für deine Antwort. Ich versuch mal mein Bestes.

Zur Aussage das zwischen N und Z eine Bijektion ist.

\left\{ 1, 2, 3, 4,5\right\} (

\left\{ -3, -2. -1, 0,1, 2\right\}

dann könnte ich doch

die 1 auf die -1 abbilden, die 2 auf die 0, die 3 auf die -2, die 4 auf die 1 und dann die 5 auf die -3

sprich:

bilde 2n -1 auf auf -n ab ( \geq 1)

bilde 2n auf n -1 ab ( \geq 1)

Zur Aussage 1: Hmm, mir fällt keine Funktion ein unglücklich

Zur AUssage 3 muss ich nochmal überlegen
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Aussage 3:

hier mein Versuch die teilbarkeitsrelation zu beweisen:



a | b -> a * n = b

b| c -> b * m = c

nach b auflösen:

b =

umgeformtes b einsetzen

a *n =

a *n*m = c

-> a| c
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bijektion sieht gut aus.

zur 3) ein paar Anmerkungen (der Beweis ist prinzipiell richtig)
a|b ist definiert als (also ein genau dann wenn, nicht nur eine Folgerung)
Aus a*n=b und b*m=c folgt direkt durch einsetzen der ersten gleichung in die zweite a*n*m=c
(und damit hast du die Existenz einer solchen Darstellung bewiesen, also a|c).

1)log
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp mit dem log. Bringt mich leider absolut nicht weiter. traurig

Es ist doch so, dass ich beweisen muss - anscheinend mit log - das keine Bijektion vorhanden ist,oder?

Sprich ein "einfaches Gegenbeispiel" reicht.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dächte ich hätte damit
Zitat:
ist genauso überabzählbar

schon darauf hingewiesen (wie wohl auch deine Aufgabenstellung), dass es eine solche Abbildung, die die auch netterweise sogar angegeben hab gibt.

Und wie du die Nicht-Existenz von etwas (hier: einer Bijektion) mit einem Gegenbeispiel zeigen willst ist mir auch nicht klar.
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe das mit ist auch überabzählbar gelesen.

Aber dann hab ich wohl ein Denkfehler. Ich habe hier eine Definition: Eine unendliche Menge heißt abzählbar,wenn es eine Bijektion f: N -> M gibt. Wenn es keine solche Bijektion gibt,heißt M überabzählbar.

Daraus hab ich den Trugschluss, R ist überanzählbar deswegen eben keine Bijektion.

Es tut mir leid,aber ich komm da nicht weiter unglücklich
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe hier eine Definition: Eine unendliche Menge heißt abzählbar,wenn es eine Bijektion f: N -> M gibt. Wenn es keine solche Bijektion gibt,heißt M überabzählbar.

Richtig ist , aber die natürlichen Zahlen kommen in der 1) doch gar nicht vor.

Weise doch einfach nach, dass bijektiv ist.
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von soase
Zitat:
Ich habe hier eine Definition: Eine unendliche Menge heißt abzählbar,wenn es eine Bijektion f: N -> M gibt. Wenn es keine solche Bijektion gibt,heißt M überabzählbar.

Richtig ist , aber die natürlichen Zahlen kommen in der 1) doch gar nicht vor.

Ich wollte die Def einfach nur zur Hand nehmen,um irgendwie weiterzukommen.

Weise doch einfach nach, dass bijektiv ist.


Einfach ist gut unglücklich ich muss doch jetzt die Injektivität und danach die Surjektivität beweisen. Aber wie verwirrt
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist die Def. von injektiv/surjektiv ?
Anwenden der Def. des Logarithmus reicht dafür bereits.
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition von Injektivität : f ist injektivität, wenn zu jedem Element aus der Zielmenge höchstens ein ein Element aus der Definitionsmenge existiert.

Definition von Surjektivität :

f ist surjektiv,wenn zu jedem element aus der Definitonsmenge mind! ein Element der Zielmenge zugeordnet werden kann.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Umgangssprachliche Def. sind schön um sie sich zu merken, zum Beweisen eher weniger:
ist injektiv, falls
ist surjektiv, falls .
Also hier:
-log(x)=log(y), zu zeigen x=y
-für jede reelle Zahl y, existiert eine positvie reelle Zahl x: log(x)=y . Wie sieht dieses x in Abhängigkeit von y aus?
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm,

kann ich für den Beweis das 1. Cantorsche Diagonalargument nehmen?

Ich versteh es einfach nicht.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
kann ich für den Beweis das 1. Cantorsche Diagonalargument nehmen?

Es tut mir leid das sagen zu müssen, aber du hast bei mir grade einen Facepalm ausgelöst.
Ich hab doch grade geschrieben was du machen sollst.
Statt das auszuführen oder was dazu zu fragen willst du einfach irgendwas anderes machen.
Und für welchen Beweis eigentlich genau? (die frage ist rhetorisch.)


Außerdem habe ich den Verdacht, dass du keine Ahnung hast was der Logarithmus ist. Das wäre sehr bedenklich.
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Na, der Logarithmus ist die Umkehroperation des Potenzierens.

Sorry für meine Dummheit,dennoch möchte ich es gerne verstehen.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Also, was ist hieran unklar?
Zitat:
Umgangssprachliche Def. sind schön um sie sich zu merken, zum Beweisen eher weniger:
ist injektiv, falls
ist surjektiv, falls .
Also hier:
-log(x)=log(y), zu zeigen x=y
-für jede reelle Zahl y, existiert eine positvie reelle Zahl x: log(x)=y . Wie sieht dieses x in Abhängigkeit von y aus?
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von soase
Also, was ist hieran unklar?
Zitat:
Umgangssprachliche Def. sind schön um sie sich zu merken, zum Beweisen eher weniger:
ist injektiv, falls
ist surjektiv, falls .
Also hier:
-log(x)=log(y), zu zeigen x=y
-für jede reelle Zahl y, existiert eine positvie reelle Zahl x: log(x)=y . Wie sieht dieses x in Abhängigkeit von y aus?


Unklar ist, wie ich es zeigen soll. unglücklich Ich habe ein Problem,wie ich das mit den Variablen zeigen soll.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Was würdest du tun um diese Gleichung zu lösen:
log(x)=log(5)
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde folgendes machen:

log(x) = log (5)
x =5

Ich muss zugeben, das ich lange nicht mehr mit Logarithmus gerechnet habe.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
log(x) = log (5)
x =5

Und wie kommst du von der einen Zeile in die nächste?
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

das willst du nicht wissen unglücklich ich habe mir ein Beispiel mit log(x+2 )= log (6-x) angeschaut und versucht es zu übertragen unglücklich
soase Auf diesen Beitrag antworten »

1. Mathematische Schlußfolgerungen muss man immer begründen (können).
2. Wenn du so massive Defizite im Bereich log/exp-Fkt. hast solltest du dir das genau anschauen.
Ich weiß nicht wofür du die Aufgaben brauchst, gehe mal von Uni aus. Da wird davon ausgegangen, dass du den Schulstoff beherrscht. Und dazu gehört Rechnen mit Logarithmen dazu.
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Das mache ich gerade nebenbei.

Wenn man log zur Basis a (b) hat rechnet man ja lg (b) durch den lg (a)

log(5) ist doch zur Basis 10. Sprich lg5 durch lg 10.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Zum logarithmen erklären habe ich offen gesagt keinen Bock.
Eröffne für Fragen dazu am besten einen neuen Thread.
Amerika Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok, verstehe ich.

Aber dann komm ich wohl nicht an meine Lösung. unglücklich Ich möchte es einfach nur verstehen und bemühe mich auf.
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