gebrochen-rationale funktion: flächenberechnung

03.05.2012, 17:26

antakya31

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gebrochen-rationale funktion: flächenberechnung

Meine Frage:
Eine Fläche wird begrenzt von $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x^{2}+ tx + t^{2} }{tx} \end{eqnarray*}$ und den drei Geraden mit den Gleichungen y= 3; $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{t}+1 \end{eqnarray*}$ sowie x= 3t.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von t.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x)- 3- (\frac{x}{t}+1) \, dx \end{eqnarray*}$

- für b würde ich 3t einsetzsen
- weiß aber nicht was ich für a einsetzen muss..ich muss doch den SP von zwei Gleichungen berechnen oder?

03.05.2012, 18:12

antakya31

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Das ist die Abitur Hauptprüfung aus dem Jahr 1986/87 (Wirtschaftsgymnasium: Baden-Württemberg)...ich brauche nur ein paar Ansätze wie ich die Aufgabe lösen kann.
Bitte um Hilfe Erstaunt2

Erstaunt2

03.05.2012, 18:42

Kasen75

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Hallo,

ich habe mir mal die Funktionen für t = 2 zeichnen lassen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x^{2}+ tx + t^{2} }{tx} \end{eqnarray*}$ (blau)
$\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{t}+1 \end{eqnarray*}$ (rot)

$\begin{eqnarray*} y=3 \end{eqnarray*}$ (grün)

Dabei kann ich nicht erkennen, welche Fläche gemeint sein könnte. Insofern weiß ich nicht, in wieweit die Aufgabe Sinn macht. Vorraussetzung ist, dass ich keinen Fehler gemacht habe. Big Laugh

Big Laugh

Mit freundlichen Grüßen

03.05.2012, 19:21

antakya31

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meine Lehrerin hat mir gesagt, dass es die Fläche zwischen dem roten, blauen und grünen ist im positiven Bereich..(die Fläche ist sehr klein)
dann müsste ich ja eigentlich den SP von dem blauen und grünen ausrechnen. Stimmt das aber?

03.05.2012, 19:28

antakya31

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Also ich habe jetzt mal die Schnittpunkte vom
1. blauen und grünen Graph : x = t
2. roten und grünen Graph: x = 2t
ausgerechnet.
Doch weiß jetzt nicht mehr weiter verwirrt

verwirrt

03.05.2012, 19:40

Kasen75

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Zitat:

1. blauen und grünen Graph : x = t

Wie kommst du denn darauf?

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03.05.2012, 19:47

antakya31

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+tx+t^{2}}{tx} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}+tx+ t^{2} = 3tx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}- 2tx + t^{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = t \pm \sqrt{t^{2} - t^{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = t \end{eqnarray*}$

03.05.2012, 20:50

Kasen75

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Hallo,

ich habe mal mit deinen Grenzen die Integralfunktion für die gelbe Flache aufgeschrieben.
Das könnte es sein.

Die Fläche zwischen grüner Funktion und roter Funktion ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2t} \! 3-(\frac{x}{t}+1) \, dx \end{eqnarray*}$

Fläche zwischen blauer Funktion und roter Funktion. Als obere Grenze x=3t

$\begin{eqnarray*} \int_0^{3t} \! \ \frac{x^{2}+ tx + t^{2} }{tx}-(\frac{x}{t}+1) \, dx \end{eqnarray*}$

04.05.2012, 13:38

antakya31

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so kann ich das ja gar nicht ausrechnen, ich brauch die Stammfunktionen von allen.
- grüner Graph: y=3 ; Stammfunktion ist dann y= 3x

bei den zwei anderen Funktionen weiß ich nicht wie ich das machen soll..

04.05.2012, 14:22

Kasen75

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grüne Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{t}+1 = \frac{1}{t} \cdot x + 1 \end{eqnarray*}$

1/t ist ein Faktor. Also musst du nur x integrieren. Und dann wieder durch t dividieren. Die 1 nach x zu intergrieren ist das geringste Problem.

rote Funktion:
$\begin{eqnarray*} y=\frac{x^{2}+ tx + t^{2} }{tx} \end{eqnarray*}$

Hier würde ich erst einmal die Brüche einzeln schreiben und kürzen wo es geht. Dabei vereinfacht sich schon sehr sehr viel.

04.05.2012, 16:28

antakya31

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Stammfunktion von der grünen Funktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} * x^{2} + x \end{eqnarray*}$

Stammfunktion von der roten Funktion:
1. gekürzt: $\begin{eqnarray*} \frac{x}{t} + \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$

2. Stammfunktion: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} * x^{2} + ? \end{eqnarray*}$

04.05.2012, 16:52

Kasen75

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grüne Funktion: OK. Freude

Freude

rote Funktion:

Zitat:

1. gekürzt: $\begin{eqnarray*} \frac{x}{t} + \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$

Da hast du bei $\begin{eqnarray*} y=\frac{x^{2}+ tx + t^{2} }{tx} \end{eqnarray*}$ den Teil $\begin{eqnarray*} \frac{tx}{tx} \end{eqnarray*}$ unterschlagen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} * x^{2} + ? \end{eqnarray*}$

Um den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$ zu integrieren, muss man wissen, dass die Aufleitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ ist.

05.05.2012, 11:05

antakya31

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^{2} + tx + t^{2}}{tx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^{2}}{tx} + \frac{tx}{tx} + \frac{t^{2}}{tx} \end{eqnarray*}$

kann ich jetzt hier tx nicht kürzen?

05.05.2012, 11:42

Kasen75

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Ja. Und es bleibt bei tx/tx 1 übrig. Die 1 will auch integriert werden.

05.05.2012, 11:55

antakya31

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^{2} + tx + t^{2} }{tx} \end{eqnarray*}$

gekürzt:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{t} + 1 + \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$

Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2t} *x^{2} + x + t*ln(x) \end{eqnarray*}$

hoffe dass es jetzt stimmt Big Laugh

Big Laugh

05.05.2012, 13:10

Kasen75

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Richtig integriert Freude

Freude

Wir haben irgendwie nicht berücksichtigt, dass zwischen t und 2t man die Fläche zwischen blauer und grüner Funktion betrachten muss. Ich habe dass mal korrigiert. Mit deinen Integrationen ergibt sich dann unten die Flächenfunktionen. Jetzt kann man noch zusammenfassen. Man kann nur die Ausdrücke zusammenfassen die sowohl den Parameter t als auch die Variable x in gleicher Poitenz haben. So könnte man z.B. x-3x als -2x schreiben.

Die Fläche zwischen grüner Funktion und roter Funktion ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{t} \! 3-(\frac{x}{t}+1) \, dx \end{eqnarray*}$

Fläche zwischen blauer Funktion und grüner Funktion. Untere Grenze: t, obere Grenze 2t

$\begin{eqnarray*} \int_t^{2t} \! \ \frac{x^{2}+ tx + t^{2} }{tx}-3 \, dx \end{eqnarray*}$

Fläche zwischen blauer Funktion und roter Funktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{2t}^{3t} \! \ \frac{x^{2}+ tx + t^{2} }{tx}-(\frac{x}{t}+1) \, dx \end{eqnarray*}$

Stammfunktionen mit Grenzen:
Die Fläche zwischen grüner Funktion und roter Funktion ist:
$\begin{eqnarray*} 3x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{t}-x [0,t] \end{eqnarray*}$

Fläche zwischen blauer Funktion und grün Funktion. Untere Grenze: t, obere Grenze 2t
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} *x^{2} + x + t*ln(x) - 3x [t,2t] \end{eqnarray*}$

Fläche zwischen blauer Funktion und roter Funktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} *x^{2} + x + t*ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{t}-x [2t,3t] \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 14:53

antakya31

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ich habe jetzt die einzelnen flächen ausgerechnet

1. grüne und rote Funktion:
$\begin{eqnarray*} \left[3x - \frac{1}{2t}* x^{2} - x\right]_{0}^{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3t - 3*0) - (\frac{1}{2t}*t^{2} - t - (\frac{1}{2t}*0 - 0)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3t + \frac{1}{2}t = \frac{7}{2}t \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 14:57

antakya31

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2. blaue und grüne Funktion:

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{2t}x^{2}+x+t*ln(x)-3x\right]_{t}^{2t} \end{eqnarray*}$

ich wollte nicht die ganze Rechnung schreiben deswegen mal hier die Lösung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}t+t*ln(x)- t*ln(x) \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 15:06

antakya31

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3. blaue und rote Funktion:

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{2t}x^{2}+x+t*ln(x)-(\frac{1}{2t}x^{2}+x)\right]_{2t}^{3t} \end{eqnarray*}$

Lösung:
$\begin{eqnarray*} t*ln(3t) - t*ln(2t) \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 17:07

Kasen75

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Hallo,

ich habe noch mal die Grenze von der 1. Fläche verändert. Die geht von 0 bis 2t.

Setzt man die Grenzen ein ergibt sich für die $\begin{eqnarray*} \textcolor{green}{gruen} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{rote} \end{eqnarray*}$ Fläche:

$\begin{eqnarray*} A_{\ 0, \ 2t} =6t - \frac{4t^2}{2t}-2t=6t- 2t- 2t = 2t \end{eqnarray*}$

Deine anderen Flächen sind:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{blau} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \textcolor{green}{gruene} \end{eqnarray*}$ Fläche

$\begin{eqnarray*} A_{\ t, \ 2t}=-\frac{1}{2}t+t*ln(\textcolor{red}{2}t)- t*ln(t) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}t+ t \cdot ln(2) + t \cdot ln(t) - t \cdot ln(t)= -\frac{1}{2}t+ t \cdot ln(2) \end{eqnarray*}$
Das geht wegen der Regel: $\begin{eqnarray*} log(ax) = log a + log x \end{eqnarray*}$ . Die rote 2 hattest du vergessen hinzuschreiben. Sonst gut integriert Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{blau} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{rote} \end{eqnarray*}$ Fläche

$\begin{eqnarray*} A_{\ 2t, \ 3t}=t*ln(3t) - t*ln(2t) \end{eqnarray*}$ Perfekt Freude

Freude

Summiert man die Flächen auf ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} A_{gesamt}=2t-\frac{1}{2}t+ t \cdot ln(2)+t*ln(3t) - t*ln(2t) \end{eqnarray*}$

Hier kann man noch zusammenfassen. Wenn man dann t=2 einsetzt und die Fläche ausrechnet, dann muss es der Fläche in der Skizze entsprechen (gelbe Fläche). Man kann es natürlich nur abschätzen. Aber es kommt schon ganz gut hin. Und dann ist man im Prinzip fertig.

05.05.2012, 17:26

antakya31

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danke für die Hilfe ich hätte es alleine nicht hingekriegt Tanzen

Tanzen

Freude

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