Glm. oder Punktweise Konvergenz von Fkt.folgen

03.05.2012, 18:35

steviehawk

Glm. oder Punktweise Konvergenz von Fkt.folgen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich soll ein paar Fkt.folgen auf Konvergenz prüfen!

1) $\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{nx}{1+n|x|} \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall: $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$

hier dachte ich an die folgenden Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \frac{nx}{1+n|x|} \leq \frac{nx}{n|x|} = \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$

dann bekomme ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$ als Grenzfunktion für festes x (weil ich ja punktweise Konvergenz prüfe). Diese ist aber nicht stetig, also kann diese Fkt.folge auch nicht glm. konvergent sein.

Meine Ideen:
Passt das so?

Danke

03.05.2012, 18:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} \frac{nx}{1+n|x|} \leq \frac{nx}{n|x|} = \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung stimmt aber nur für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ gilt das glatte Gegenteil, nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{nx}{1+n|x|} > \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$ .

Ich würde mal eher über $\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{x}{\frac{1}{n}+|x|} \end{eqnarray*}$ im Grenzprozess $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ argumentieren, und zwar getrennt für die Fälle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

03.05.2012, 18:47

steviehawk

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Danke für den Hinweis. Aber es geht ja dennoch gegen $\begin{eqnarray*} \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$ . die Schlussfolgerung für die glm. Konvergenz stimmt ja dann trotzdem oder?

03.05.2012, 18:48

HAL 9000

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Ja. Allerdings wird die Grenzfunktion im Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$ beschrieben - ein bisschen Sorgfalt muss schon sein. Augenzwinkern

03.05.2012, 18:59

steviehawk

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Alles klar, danke:

Dann habe ich noch die Fkt.folge:

2) $\begin{eqnarray*} f_n(x) = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [n,n+1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sonst

und $\begin{eqnarray*} f_n(x): \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

so, wenn ich mir das veranschauliche, dann habe ich immer einen Strich bei 1 eben für $\begin{eqnarray*} x \in [n,n+1] \end{eqnarray*}$ und sonst immer Null. Für großes n wandert der Strich eben nach rechts.. Dann gibts doch gar keine Grenzfunktion oder? für n gegen unendlich geht der strich ja auch nicht zur Null runter..Wenn es dann nicht punktweise konvergiert, dann sicher auch nicht glm.

Tipp vielleicht?

03.05.2012, 19:07

HAL 9000

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Wie kommst du darauf, dass keine punktweise Konvergenz vorliegt? Nenne mir eine einzige Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} (f_n(x_0))_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert!

03.05.2012, 19:15

steviehawk

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Okay, wenn ich mir das nochmal überlege, dann konvergiert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ die Funktionenfolge gegen Null für alle x.. dann wäre die Nullfunktion meine Grenzfunktion..

Weil ja x irgendwann nicht mehr im Intervall $\begin{eqnarray*} [\infty, \infty + 1] \end{eqnarray*}$ liegen kann oder? Das ist ja nur bei der erweiterten Zahlenmenge dabei nicht bei den reellen Zahlen.

03.05.2012, 20:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Okay, wenn ich mir das nochmal überlege, dann konvergiert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ die Funktionenfolge gegen Null für alle x

Richtig. Allerdings sollte man sich nicht auf grausige Argumentationsebenen wie $\begin{eqnarray*} [\infty, \infty + 1] \end{eqnarray*}$ begeben, würg...

Fehlt noch die Begründung, warum keine gleichmäßige Konvergenz gegen diese Grenzfunktion vorliegt.

03.05.2012, 20:27

steviehawk

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Also stetig ist die Nullfunktion, den Satz von oben kann ich also nicht verwenden.

Aber wenn ich die Definition anwenden bekommen ich:

$\begin{eqnarray*} sup_{x \in D}|f_n(x) - f(x)| \to 0 \end{eqnarray*}$ muss für die glm Konvergenz gelten.

Es gilt doch aber:

$\begin{eqnarray*} sup_{x \in D}|f_n(x) - f(x)| = sup_{x \in D }|f_n(x)| = 1 \end{eqnarray*}$

Also liegt keine glm. Konvergenz vor.

Passt das so?

03.05.2012, 21:11

HAL 9000

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Das passt.

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