diophantische gleichung mit 4 variablen

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mathewk Auf diesen Beitrag antworten »
diophantische gleichung mit 4 variablen
Hallo zusammen :-). Die Aufgabe: Besitzt die Gleichung nicht triviale ganzzahlige Lösungen? (Hinweis: Betrachten Sie die Restklassen mod 7).

Meine Idee: Ich würde das ganze in Z/7Z betrachten wie der Hinweis besagt: So würde die linke Seite gleich 0 werden. Ist der Einstieg schonmal richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da gab's allerdings auch noch nicht soviel verkehrt zu machen. Augenzwinkern
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

@ hal9000: hihi da hast du recht

jetzt würde ich die gleichung umstellen:.
Da nun immer positiv ist bzw. nicht negativ werden kann. ist die Gleichung nicht erfüllt und ich komme zu dem Schluss das nur triviale ganzzahlige Lösungen existieren. Ist das richtig geschlussfolgert?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung lautet nicht , sondern , und da zieht deine Begründung überhaupt nicht. Ehrlich gesagt finde ich sie erschreckend naiv. unglücklich

Rechne lieber mal die möglichen quadratischen Reste modulo 7 aus, und folgere dann, welche Paare überhaupt zu führen können.
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

ok also t und z können {0,1,2 oder 4} annehmen und nur und führen zu
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Eine Idee, wie man das verwerten kann? Augenzwinkern
 
 
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

daraus kann ich jetzt schliessen das eine Lösung neben der trivialen existiert???
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

da 0 auch in der Lösungsmenge von existiert?!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, noch hast du keine Lösung, abgesehen von der trivialen .

Es gibt auch keine weitere, was mit dem Prinzip des unendlichen Abstiegs bewiesen werden kann. Ich persönlich bevorzuge allerdings die "endliche" Variante davon, die etwa so anfängt:

Angenommen, es gibt Lösungen mit . Dann betrachten wir unter all diesen Lösungen diejenige mit dem kleinsten Wert von , den nennen wir . D.h., es ist dann und wir betrachten ein Lösungs-Quadrupel mit

.

Nun wenden wir darauf diese Erkenntnis

Zitat:
Original von mathewk
nur und führen zu

an...
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

ok und dann folgt hieraus das m =0 ist und somit ein widerspruch existiert.
Damit haben wir nur die triviale Lsg.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

kann von Haus aus nicht Null sein für ganzzahlige Paare , es sollte wohl für solche Paare klar sein.

Nein, du musst dir schon mehr und bessere Gedanken machen, um den Widerspruch zu erreichen.


EDIT: Jetzt sehe ich vielleicht dein Problem, ich hatte es bisher nicht ernstgenommen - das hier sollte natürlich richtigerweise

Zitat:
Original von mathewk (korrigiert)
nur und führen zu

lauten.
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

ok genau umgekehrt weil m nicht 0 werden kann gibts nur die triviale Lsg....Hab ichs jetzt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Hast du dir mal den Link zum "Prinzip des unendlichen Abstiegs" durchgelesen? Vermutlich nicht.
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

also das beweisprinzip besagt das wir beweisen müssen das m nicht die kleinste lösung ist und das haben wir ja gezeigt da wir ja haben das m>0 ist. und somit haben wir keine Lösung bis auf die triviale (m kann nicht unsere kleinste lösung sein).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist zum Haareausraufen, wie oft soll ich es denn noch wiederholen: Vergiss die triviale Lösung , wir betrachten hier nur möglicherweise sonst existierende Lösungen - darauf baut der Beweis auf. Finger1

Ich denke, ich gebe besser auf. Vielleicht hat ja ein anderer (ich denke da etwa an Mystic) einen besseren Zugang zu dir: Du versuchst einen Schnellschuss nach dem anderen, jeder noch untauglicher als der vorige, statt nur einmal richtig nachzudenken. Unerträglich. unglücklich
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand zeigen wie ich in diesem fall eine solche kleinere Lösung konstruiere.wäre euch sehr dankbar wenn mir jemand den nächsten Schritt zeigen könnte.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem ich mich einigermaßen von dem Schock über deine Unbeweglichkeit erholt habe, hier die Komplettlösung - hoffentlich erkennst du wenigstens, dass die nach all den Hinweisen (insbesondere zum Prinzip des unendlichen Abstiegs) nun wirklich auch für dich zu finden sein musste:

Zitat:
Original von mathewk (korrigiert)
nur und führen zu

Das heißt nichts anderes, als dass bei dieser angenommenen Lösung mit



sowohl als auch durch 7 teilbar sein müssen. Es gibt dann also ganze Zahlen mit und , was eingesetzt zu



führt. Teilt man das ganze durch 7 und führt naheliegenderweise noch die Bezeichnungen ein, so gelangt man zu

,

d.h. man hat mit dem Quadrupel eine Lösung gefunden, für die gilt, im Widerspruch zur oben vorausgesetzten Minimalität von . Damit muss die Grundannahme falsch gewesen sein, dass es außer der trivialen Lösung überhaupt eine weitere Lösung gibt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nur als kleine Anmerkung jetzt (ohne damit sagen zu wollen, dass es dadurch einfacher wird!):

Man könnte die Methode des unendlichen Abstiegs hier ev. auch erstzen durch das Argument, dass für beliebige natürliche Zahlen a und b der Ausdruck , falls er positv ist, den Primfaktor 7 stets in einer geraden Vielfachheit enthält... Enthalten nämlich a und b den Primfaktor 7 mit der gleichen Vielfachheit m, so wissen wir bereits, dass dann



nicht durch 7 teilbar ist, weshalb also den Primfaktor 7 mit der Vielfachheit 2m enthält... Sind die Vielfacheiten von 7 in a und b aber verschieden und ist m die kleinere von beiden (natürlich ist auch m=0 zugelassen!), dann ist die Vielfachheit von 7 in klarerweise ebenfalls 2m...

Insgesamt würden sich also die Vielfachheiten von 7 der linken und rechten Seiten der Diophantischen Gleichung beim Einsetzen einer nichttivialen Lösung in den Paritäten der Vielfachheiten von 7 unterscheiden, was natürlich nicht geht...
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

@hal9000: erstmal danke für deine mühen und das ich deine nerven so strapazieren durfte ;-). Ich konnte deine letzte Ausführung sehr gut nachvollziehen, denn kurz vorher hatte ich dann doch noch den ersehnten geistesblitz und kam selber drauf. hatte gestern versucht mit aller gewalt noch unikram zu machen was nach nem 10 stunden arbeitstag dann irgendwie nicht in gang kam. also ich gelobe solche probleme in zukunft zu einer anderen tageszeit zu diskutieren (ist glaube ich produktiver ;-))also vielen dank nochmal. mathew
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