Konvergenz und Grenzwert einer rekursiven Folge bestimmen

03.05.2012, 20:39	Fu	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Grenzwert einer rekursiven Folge bestimmen Meine Frage: Hi all, ich soll folgende Folge auf Konvergenz pruefen und ggf. den Grenzwert bestimmen: $\begin{eqnarray} a_{1} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n + 1} = \frac{1}{6}(a_{n} +\frac{1}{a_{n} }) \end{eqnarray}$ Ergaenzend zu der Aufgabestellung: Nehmen Sie zur Bestimmung des Grenzwertes a (falls er existiert) an, dass der Grenzwert auch die Rekursionsformel erfuellt. Loesung: Alle Folgenglieder sind positiv. Da ein eventuell vorhandener Grenzwert a auch die Rekursionsformel erfuellen muss, hat man die Gleichung $\begin{eqnarray} a = \frac{1}{6}(a + \frac{1}{a}) \Rightarrow a^{2} = \frac{1}{5} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{5} } \end{eqnarray}$ , wobei nur der positive Wert in Frage kommt, da das Anfangsglied positiv ist und nur positive Folgenglieder erzeugt werden. Die Folge ist somit konvergent und es gilt somit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (a_{n + 1}) = \frac{1}{\sqrt{5} } \end{eqnarray}$ Frage Nr. 1: Ich verstehe die Gedanke "...da ein eventuell vorhandener Grenzwert a auch die Rekursionsformel erfuellen muss..." nicht. Was hat ein Grenzwert mit der Rekursionsformel zu tun? Ich dachte, die Rekursionsformel betrifft nur die Folgenglieder der Folge. Frage Nr. 2: Wie komme ich von der Gedanke aus Frage Nr. 1 hin zu der oben in der Loesung ausgefuehrten Gleichung? Insbesonders verstehe ich die Umformung von Schritt 1 auf Schritt 2 nicht? Frage Nr. 3: Ich habe unten meine Ideen zu der Aufgabe ausgefuehrt. Es waere super, wenn ihr mir sagen koenntet, ob generell die Gedanke richtig ist oder nicht. Meine Ideen: Meinen bisherigen Loesungsansatz fuer Grenzwertbestimmung solcher Folge war, dass ich mir die Ergebnisse der Folgenglieder angucke, um dann einen expliziten Form bilden zu koennen. Die Limes Betrachtung des expliziten Forms liefert mir dann dementsprechend das Ergebnis, z.B.: $\begin{eqnarray} a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + (2n + 1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{3} = 9, ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a_{n} = \sum\limits_{k=1}^n (2k - 1) oder = n^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } n^{2} = \infty \Rightarrow Divergenz \end{eqnarray}$ Bei diesem Beispiel habe ich folgende Folgengliedern: $\begin{eqnarray} a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{3} , a_{3} = \frac{5}{9} , a_{4} = \frac{53}{135}, ... \end{eqnarray}$ Ich schaffe es einfach nicht einen expliziten Form fuer dieser Folge zu bilden. Vllt. koennt ihr mir hier ein paar Gedankenanstoss geben, womit ich weiter arbeiten kann. Ich hoffe die Fragen sind eindeutigt genug formuliert und ihr versteht mein Problem. Bedanke mich schon einmal im Voraus fuer euer Hilfe. Viele Gruesse.
04.05.2012, 00:53	-ItsMe-	Auf diesen Beitrag antworten »
"Da ein eventuell vorhandener Grenzwert a auch die Rekursionsformel erfuellen muss..." Wie sicher bekannt ist, ist der Grenzwert der Wert, den die Folge mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray}$ annimmt. $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ Nun ist dieser Grenzwert aber schon der maximale Wert, den die Folge annehmen kann. Das heißt, dass auch $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ diesen Grenzwert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ haben muss. Also gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \end{eqnarray}$ Deshalb kann man aus $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \frac{1}{6}\cdot(a_n+\frac{1}{a_n}) \end{eqnarray}$ auch das hier machen: $\begin{eqnarray} a = \frac{1}{6}\cdot(a+\frac{1}{a}) \end{eqnarray}$ Und dann einfach nach a auflösen. Deine Methode, die du normal anwendest, funktioniert hier nicht ganz, da man zuerst umständlich nach einem $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ in Reinform suchen muss.
07.05.2012, 20:10	Fu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ItsMe, vielen Dank fuer die super Erklaerung. Ich konnte auf jeden Falls danach die Loesung viel besser nachvollziehen. Viele Gruesse.
07.05.2012, 21:46	BatistaVK	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte, das nicht induktiv bewiesen werden? Das es auch wirklich der grenzwert ist? Falls das die Komplette Lösung ist, ist es unvollständig.

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