Quadraturformeln

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Fabl Auf diesen Beitrag antworten »
Quadraturformeln
Hallo miteinander

Ich habe ein paar Fragen bezüglich Quadraturformeln.

1.) Wenn ich eine 2-Punkt-Gauss-Quadraturformel habe, dann ist hiermit gemeint, dass 2 Punkte gegeben sind, oder? (..und das hat soweit noch nichts mit dem Exaktheitsgrad zu tun, oder?)

2.) Wenn ich eine Quadraturformel mit hohem (so hoch wie möglich) Exaktheitsgrad konstruieren soll, die nur die Infos f(0.5) und f'(0.5) verwendet, wie gehe ich in einem solchen Fall dann vor?
f(x) ist eben nur als f(x) bekannt, daher bleiben f(0.5) und f'(0.5) ja unbekannt.
(Diese Frage hier bezieht sich auf eine konkrete Aufgabe, bei der das Integral von 0 bis 1 mit der Gewichtsfunktion -log x gegeben ist (und eben, f(x) bleibt f(x) ohne nähere Angaben))

Danke für jeden Hint.
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadraturformeln
1.) Wenn ich eine 2-Punkt-Gauss-Quadraturformel habe, dann ist hiermit gemeint, dass 2 Punkte gegeben sind, oder? (..und das hat soweit noch nichts mit dem Exaktheitsgrad zu tun, oder?)

Ja eine 2-Punkt-Gauss-Quadraturformel verwendet wie der Name schon sagt 2 Gaußpunkte.
Mit einer n-Punkt Gaußquadraturformel lassen sich Polynome bis zu einem Polynomgrad p von p=2n-1 exakt integrieren. D.h. mit einer 2-Punkt-Gauss-Quadraturformel kannst du Polynome mit bis zu einem Polynomgrad von p=2*2-1 also p=3 exakt integrieren (z.B. x³-x²-x+1) was wiederrum heisst, dass wenn du mein Beispielpolynom analytisch integrierst und mit einer Zweipunkt-Gaußquadraturformel erhältst du beidesmal die exakte Lösung.

2.) Wenn ich eine Quadraturformel mit hohem (so hoch wie möglich) Exaktheitsgrad konstruieren soll, die nur die Infos f(0.5) und f'(0.5) verwendet, wie gehe ich in einem solchen Fall dann vor?
f(x) ist eben nur als f(x) bekannt, daher bleiben f(0.5) und f'(0.5) ja unbekannt.
(Diese Frage hier bezieht sich auf eine konkrete Aufgabe, bei der das Integral von 0 bis 1 mit der Gewichtsfunktion -log x gegeben ist (und eben, f(x) bleibt f(x) ohne nähere Angaben))

Du wirst feststellen dass dies die Gaußquadraturformel ergibt, da diese den höchstmöglichen Genauigkeitsgrad besitzt. Natürlich kannst du mit den Informationen die Quadraturformel austellen, indem du zunächst allgemein die Quadraturformel hinschreibst:



Hier sind sigma die Gewichte und f(x) deine Funktion an dem jeweiligen Punkt x.

Nun fängst du damit an ein nichtlineares Gleichungssystem aufzustellen indem du
bis zu einem Polynomgrad von p=2n-1 jeweils obige Quadratuformel anschreibst und anschließend das NLGS löst.
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