Berechnung Spatprodukt vierseitige Pyramide

03.05.2012, 21:10	Meme	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung Spatprodukt vierseitige Pyramide Meine Frage: Hallo, gegeben ist eine viereckige Pyramide mit den Punkten A(4/3/1) B(1/7/1) C(-3/2/0) D(0/0/0) und der Spitze S(0/3/4). Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, teile ich die Grundfläche erst in zwei Dreiecke und addiere dann die Volumina. Also: $\begin{eqnarray} V1=\frac{1}{6}\| (\vec{AB}\times \vec{AD})\vec{AS}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V1=\frac{1}{6}\| (\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -1\end{pmatrix} )\begin{pmatrix} -4\\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V2=\frac{1}{6}\| (\vec{CD}\times \vec{CB})\vec{CS}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V2=\frac{1}{6}\| (\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix} )\begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \| \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} V1=\frac{1}{6}\| (\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 25 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} -4\\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \|= \frac{91}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V2=\frac{1}{6}\| (\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 23 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \|= \frac{83}{6} \end{eqnarray}$ V1+V2= 29 Wenn man jedoch die Vektoren anders wählt, zum Beispiel $\begin{eqnarray} V1=\frac{1}{6}\| (\vec{AB}\times \vec{AC})\vec{AS}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V2=\frac{1}{6}\| (\vec{AD}\times \vec{AC})\vec{AS}\| \end{eqnarray}$ so ergibt sich: $\begin{eqnarray} V1=\frac{1}{6}\| (\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -7 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix} )\begin{pmatrix} -4\\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V1=\frac{1}{6}\| (\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 31 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} -4\\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \|= \frac{109}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V2=\frac{1}{6}\| (\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -7 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix} )\begin{pmatrix} -4\\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V2=\frac{1}{6}\| (\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -17 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} -4\\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \|= \frac{59}{6} \end{eqnarray}$ also: V1+V2=28 Wie kann beim Ersten 29 und beim Zweiten 28 rauskommen? Meine Ideen:
03.05.2012, 22:32	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Die vier Punkte der Grundfläche liegen nicht in einer gemeinsamen Ebene, daher ist keine Pyramide gegeben. Der Aufgabensteller müßte definieren, durch welche der beiden Diagonalen ein Knick oder eine Bruchkante geht, dann wäre das Volumen eindeutig berechenbar, und zwar genau so, wie Du es gemacht hast: Teilung des Körpers in zwei Tetraeder.
03.05.2012, 22:41	Meme	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah natürlich, da hätte man drauf kommen können. In der Aufgabenstellung wird aber nicht auf die geknickte Grundfläche hingedeutet, es handelt sich daher wahrscheinlich um einen Druchfehler. Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
03.05.2012, 22:51	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung Spatprodukt vierseitige Pyramide anmerkung: man kann sich die arbeit viel leichter machen - ein pyramidon vorausgesetzt $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{6}\cdot \|(\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}\times\overrightarrow{DC})\cdot\overrightarrow{DS}\| \end{eqnarray}$
03.05.2012, 22:53	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ursache. Normalerweise sollte man einer Angabe trauen können. Ich bin auch beim graphischen Überprüfen draufgekommen. Wenn man C auf (-3 4 0) abändert, sind die Punkte A bis D in einer Ebene. Aber ob das wirklich so gemeint ist . . .

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