[Maßtheorie] - Zeigen, dass Sigma-Algebren gleich sind

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wdposchmann Auf diesen Beitrag antworten »
[Maßtheorie] - Zeigen, dass Sigma-Algebren gleich sind
Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu Sigma-Algebren, genauer (so glaube ich zumindest) zu Borel-Sigma-Algebren. Und zwar:

Es sei gegeben durch:




Zeigen Sie, dass die Sigma-Algebren und , welche von und erzeugt werden, gleich sind.

Meine Ideen:

Wie eine Sigma-Algebra definiert ist, ist mir klar. Omega muss enthalten sein und sie muss abgeschlossen sein bzgl. Komplementbildung und der Vereinigung beliebiger Mengen. Doch wie stelle ich das hier bei Intervallen an? Ich würde noch so weit kommen:

Das Komplement von (a,b) ist und das von [a,b] wäre . Liege ich soweit überhaupt richtig?

Danke schonmal!
lp-raum Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Die Komplemente hast du richtig bestimmt. Kleine Berichtigung zur Definition von Sigma-Algebren: Sie müssen nicht abgeschlossen sein unter beliebigen Vereinigungen, sondern nur unter abzählbaren. Ein wichtiger Unterschied. Augenzwinkern

Tipps: Für betrachte Vereinigungen von Intervallen der Form
Für die umgekehrte Richtung, starte mit Schnitten von Mengen der Form
(Überlege dir ggf. zuerst, dass Sigma-Algebren auch abgeschlossen unter der Bildung von abzählbaren Schnitten sind.)
wdposchmann Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

vielen Dank für deine Antwort! Ich habe jetzt bisher folgende "Sigma-Algebren":





Daher jetzt meine erste Frage: Wie kommst du auf die Mengen, die du mir als Tipp gegeben hast? Ich frage nur deshalb, weil meine bisherige Vorgehensweise bei Sigma-Algebren immer die war, dass ich aus den Mengen, die ich bereits in meiner Menge habe, weitere erstelle durch Komplementbildung etc.

Ok, also wenn ich die Vereinigung aller bilde (also praktisch n gegen unendlich laufen lasse), komme ich auf das Intervall [a,b], ist das korrekt? Und wenn ja, was sagt mir das jetzt?

Zum Zweiten: Wenn ich den Schnitt über alle Intervalle der Form bilde, komme ich auf . Das kommt mir allerdings irgendwie seltsam vor.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte doch direkt mal



und



Du musst die Sigma-Algebren gar nicht bestimmen, sondern nur zeigen, dass die Erzeuger jeweils in der anderen enthalten sind. Und das ist mit obigen zwei Zeilen eigentlich schon erledigt.
lp-raum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wdposchmann



Das kann man so aber nicht schreiben, weil die Mengen auf der rechten Seite keine Sigma-Algebren sind.

Zitat:
Daher jetzt meine erste Frage: Wie kommst du auf die Mengen, die du mir als Tipp gegeben hast? Ich frage nur deshalb, weil meine bisherige Vorgehensweise bei Sigma-Algebren immer die war, dass ich aus den Mengen, die ich bereits in meiner Menge habe, weitere erstelle durch Komplementbildung etc.

Siehe tmo's Antwort.

Zitat:
Ok, also wenn ich die Vereinigung aller bilde (also praktisch n gegen unendlich laufen lasse), komme ich auf das Intervall [a,b], ist das korrekt?

Nein! Nochmal nachdenken. Augenzwinkern

Zitat:
Zum Zweiten: Wenn ich den Schnitt über alle Intervalle der Form bilde, komme ich auf . Das kommt mir allerdings irgendwie seltsam vor.

ist in keiner der geschnittenen Mengen drin, also erst recht nicht im Schnitt (unterscheide runde und eckige Klammern bei Intervallgrenzen!). Man erhält einfach Wenn man das gleiche "in die andere Richtung" nochmal macht, erhält man für beliebig gegebene . Den Schnitt, den tmo zu dieser Richtung aufgeschrieben hat, ist aber sogar noch ein bisschen einfacher.
wdposchmann Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ich würde sagen, dass



und



Stimmt das?

Wenn ja, wie meinst du, dass es mit diesen zwei Zeilen schon getan ist, zu zeigen, dass die Erzeuger jeweils in der anderen Menge enthalten sind?

Der Erzeuger von ist doch (a,b) und der von ist [a,b] oder? Dass jetzt kann ich nachvollziehen, aber dass , kann ich auch durch die oben stehenden zwei Zeilen nicht ganz nachvollziehen...

@lp-raum: Danke für deine ausführliche Antwort, ich werd noch mal über meine Schlussfolgerungen nachdenken, spontan fällt mir da grad nichts anderes zu ein. Habs daher mal mit tmo's Vorschlag versucht, du meintest ja am Ende auch, dass es damit noch etwas einfacher ist.

Gruß
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wdposchmann

Wenn ja, wie meinst du, dass es mit diesen zwei Zeilen schon getan ist, zu zeigen, dass die Erzeuger jeweils in der anderen Menge enthalten sind?



Seien und zwei -Algebren.

Es sei .

Es ist die kleinste -Algebra, die enthält. Wenn Du nun zeigst, daß auch in enthalten ist, muss also gelten, denn dann enthält als von erzeugte -Algebra auch , muss aber feiner sein.

(Und umgekehrt zeige auch .)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wdposchmann
Ok, also ich würde sagen, dass



und





Da gilt es nochmal drüber nachzudenken. Mit den Ergebnissen kommst du natürlich nicht zu einer Lösung, weil sie nicht richtig sind Augenzwinkern
wdposchmann Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt das Wochenende mal drüber gegrübelt und komme leider auf keinen grünen Zweig. Vielleicht erklär ich mal kurz meine Denkweise und jemand verrät mir meinen Fehler:

Also wenn ich betrachte, dann kann ich ja folgendermaßen anfangen:

Wenn ich jetzt beginne, die Schnitte zu bilden, komme ich auf , da der Schnitt zweier Mengen ja so definiert ist, dass er alle Element enthält, die sich in beiden Mengen befinden. Analog würde ich jetzt für argumentieren, also wo liegt mein Denkfehler?

Danke für eure geduldige Mitarbeit, ich steh wohl irgendwo total auf dem Schlauch.
wdposchmann Auf diesen Beitrag antworten »

Noch mal ein Nachtrag von mir. Umso länger ich drüber nachdenke, komme ich jetzt auf folgende Ergebnisse:



und



Zum Ersten: Man nähert sich ja z.B. der Zahl b von rechts (ausgehend von b+1 über b+1/2 usw.) an. Man bleibt also immer größer als b. Auch für sehr große n kommt man zwar immer näher an b heran, jedoch kommt man nie an eine Zahl heran die kleiner als b ist. Genauso argumentiert man für a.

Zum Zweiten: Hier ist der Gedanke analog, dass man zwar sehr nah an a und b heran kommt, sie jedoch nie erreichen wird.

Ist zwar alles sehr flapsig ausgedrückt aber es soll ja auch kein Beweis sondern ein Gedankengang sein.

Meine Frage jetzt: Wenn das stimmt, was ich oben vermute, dann habe ich doch dadurch gleich gezeigt, dass die Erzeuger jeweils im anderen enthalten sind und die Sigma-Algebren somit gleich sind oder?
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