Stationäre Zustandsverteilung

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04.05.2012, 01:09	Carlos Valderrama	Auf diesen Beitrag antworten »
Stationäre Zustandsverteilung Da ich nirgends bei Wikipedia oder sonstwo eine ERklärung dazu finde, was ist eine stationäre Zustandsverteilung und wie berechnet man diese (für eine vorgegebene 3X3 Matrix mit festen Zahlenwerten)?
04.05.2012, 01:34	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hat man z.B. diese Übergangsmatrix Ü, dann Zustandvektor $\begin{eqnarray} \vec{Z}_t \end{eqnarray}$ zum Zeitpunkt t, dann ist der ist der Zustand in t +1: Ü * $\begin{eqnarray} \vec{Z}_t \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,8 & 0,4 & 0 \\ 0,2 & 0,4 & 0,6 \\ 0 & 0,2 & 0,4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\vec{Z}_{t+1} \end{eqnarray}$ Bei einem stationären Zustand sind die Zustandsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{Z}_t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{Z}_{t+1} \end{eqnarray}$ gleich. Sie ändern sich nicht mehr von Periode zu Periode. Also kann man schreiben. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,8 & 0,4 & 0 \\ 0,2 & 0,4 & 0,6 \\ 0 & 0,2 & 0,4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus kann man ein Gleichungssystem entwickeln, das man dann lösen kann. $\begin{eqnarray} 0,8 x + 0,4y+0 \ z=x<br />0,2 x + 0,4 y+0,6z=y<br />0 \ x + 0,2 y+0,4\ z=z \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt x, y und z bestimmt, hat man die (stationäre) Zustandsverteilung bei gegebener Übergangsmatrix. Das war jetzt mal eine Kurzfassung. Falls du noch ´ne Frage hast, bitte posten. Mit freundlichen Grüßen
04.05.2012, 02:20	Carlos Valderrama	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... ich hab raus: Kann das sein $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ \frac{2}{3x} \\ \frac{x}{3} \end{pmatrix}=\vec{Z}_{t+1} \end{eqnarray}$
04.05.2012, 04:10	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nicht. Zumindest habe ich etwas anderes heraus. Ich habe aber auch keine eindeutige Lösung für das Gleichungssystem. Hast du denn die Probe gemacht? Mit freundlichen Grüßen
04.05.2012, 13:43	Carlos Valderrama	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh , ich hab gestern leider vergessen hinzuzuschreiben, dass ich mit der Übergangsmatrix aus der ursprünglichen Aufgabe gerechnet habe, die da lautet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{5} {6} &\frac{1} {4} & 0 \\\frac{1} {6} &\frac{7} {12} & \frac{1} {3} \\ 0 & \frac{1} {6} & \frac{2} {3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Etwas unordentlich leider, wie krieg ich die Zahlen so groß, wie bei dir hin?
04.05.2012, 15:41	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Ergebnis ist richtig . $\begin{eqnarray} \|L = \left\{\begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ \frac{2}{3}\cdot x \\ \frac{1}{3}\cdot x \end{pmatrix}: x \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ Da du ja nicht primär an der Lösung von Gleichungssystemen interessiert bist, kannst du ja mal für x = 0,3 den Zustand in t+1 ausrechnen. $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix} \frac{5} {6} &\frac{1}{4} & 0 \\\frac{1}{6} &\frac{7}{12} & \frac{1} {3} \\ 0 & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ \frac{2}{3} \cdot x \\ \frac{x}{3} \end{pmatrix} =\vec{Z}_{t+1} \end{eqnarray}$ Wenn dann der gleiche Vektor wie $\begin{eqnarray} \vec{Z}_{t} \end{eqnarray}$ herauskommt, dann hast du die stationäre Stelle gefunden. Und du wirst sehen, es funktioniert. Mit freundlichen Grüßen
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04.05.2012, 18:29	Carlos Valderrama	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte man statt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ \frac{2}{3} \cdot x \\ \frac{x}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eigentlich auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{2}{3 } \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ schreiben?
04.05.2012, 18:51	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Nicht nur (1, 2/3, 1/3). Sondern auch (2, 4/3, 2/3) und noch ganz ganz viele andere. Das liegt daran, dass das Gleichungssytem unterbestimmt ist. Was die stationären Stellen betrifft, gibt es Situationen bei denen es eine eindeutige Lösung gibt oder wie hier unendliche Lösungen. Prinzipiell ist es auch möglich dass es keine Lösung gibt. Mit freundlichen Grüßen
04.05.2012, 20:40	Carlos Valderrama	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bedanke mich für die Hilfe, das Thema kann soweit als abgeschlossen betrachtet werden, ich hab nur noch eine Verständnis-/interessensfrage: Ich hab in einem Lehrbuch etwas von Markovprozessen/Markovketten gelesen. In wieweit hat die Aufgabe damit zu tun?
05.05.2012, 04:22	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, was Du berchnet ist eine Markovkette in diskreter Zeit. Zumindest hast du den stationären Zustand berechnet. Aber tiefergehende theoretische Kenntnisse habe ich von der Markovkette nicht. Bin bei diesen Aufgaben eher anwendungorientiert. Mach einfach mal ein neues Thema auf. Experten gibt es ja genug an Board. Mit freundlichen Grüßen

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