(Absolute)Konvergenz von Reihen

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ldchris Auf diesen Beitrag antworten »
(Absolute)Konvergenz von Reihen
Hallo Leute,

habe gerade einige Probleme beim Lösen der Hausaufgabe.
Man muss die Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen.



a)

Hier habe ich mir überlegt, dass ich das das Quotientenkriterium anwenden könnte. Wenn ich das dann umstelle erhalte ich aber Wie berechne ich daraus nun den Grenzwert, dass ich eine Konvergenzaussage treffen kann?



b)

Hier habe ich spontan wenig Ideen,w ie ich das nachweisen kann. Meine Logik sagt mir, dass es divergent sein sollte, da die doppelte e-Funktion im Zähler schneller steigt als die Fakultät im nenner. Aber wie kann ich das nachweisen?



c)

Zu allererst kann man feststellen, dass es eine alternierende Reihe ist durch das (-1)^n.
Wie kann das ich hier jetzt die Konvergenz überprüfen?
Ich müsste ja rausfinden ob der Wert meines Polynoms für n gegen unendlich größer oder kleiner als 1 ist richtig? Aber wie kann ich das mathematisch beweisen?
Mein Gefühl sagt mir, dass es keine Nullfolge ist und deshalb sollte die Reihe divergieren (?)...



d)

Hier habe ich weider zuallererst eine alternierende Reihe. Mein Polynom ist Wie finde ich dann hier den Grenzwert raus? Also ob es für n gegen unendlich größer oder kleiner als 1 ist? Bin ich damit überhaupt auf dem richtigen Weg?



e)

Diese Funktion lässt sich zurückführen auf und das sollte konvergent sein, da es eine Nullfolge ist oder? Da der Cosinus jedoch positiv und negativ werden kann, haben wir nur bedingt Konvergenz und keine absolute oder?



f)

Hier ist immer kleiner als 1 was auf Konvergenz schließen lässt (durch das Quotientenkriterium) aber das die e-Funktion stört noch. Wie kann ich hier weiter machen?



g)

Hier würde ich auch begründen, dass durch das Quotientenkriterium für n gegen unendlich kleiner als 1 ist. Daraus würde Konvergenz folgen, richtig?



Vielen Dank, ich bin für jede Antwort sehr dankbar, da ich mir momentan noch sehr unsicher bei diesen Aufgaben bin.
Liebe Grüße smile
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Geistesblitz bei
a) [Achtung bei meinem Beitrag oben muss bei der Summe n=1 und nicht n=0 stehen!]

Ich kann die Summengrenze von 1 auf 2 nach oben schieben und dafür n-1 schreiben.
Dann erhalte ich und das weiter umgestellt gibt

Nun kann ich das Wurzelkriterium anwenden und erhalte

Bringt mich das irgendwie weiter?
Der Zweiteteil des Terms ist >1 daraus würde divergenz folgen, aber was ist mit dem das müsste doch auch >1 sein oder? Also ist die Reihe divergent.
Stimmt das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Absolute)Konvergenz von Reihen
zu a: das Wurzelkriterium kannst du auch ohne Indexverschiebung anwenden. Wogegen konvergiert das dann?

zu b: das ist eine endliche Reihe. Augenzwinkern

Zitat:
Original von ldchris
Wie kann das ich hier jetzt die Konvergenz überprüfen?
Ich müsste ja rausfinden ob der Wert meines Polynoms für n gegen unendlich größer oder kleiner als 1 ist richtig? Aber wie kann ich das mathematisch beweisen?

Wieso "größer oder kleiner als 1" ?

Zitat:
Original von ldchris
Mein Gefühl sagt mir, dass es keine Nullfolge ist und deshalb sollte die Reihe divergieren (?)...

Gefühle können täuschen. Augenzwinkern

zu d: wende das Quotientenkriterium an.

Zitat:
Original von ldchris
Diese Funktion lässt sich zurückführen auf und das sollte konvergent sein, da es eine Nullfolge ist oder?

Erstmal ist das keine Funktion und 1/n ist auch eine Nullfolge, aber deren Reihe ist divergent. Also das Argument "Nullfolge" zieht nicht.

zu f: das würde ich es mal mit dem Wurzelkriterium versuchen.

zu g: überlege mal, wogegen konvergiert.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib bei der a) doch einfach



Nun kannst du schnell eine divergente Minorante finden. Denn die Folge im Zähler sollte dir vertraut sein.

Edit: Und raus. Ich lass mal nur den Einwand zur a) ergänzend stehen.
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also zu a) mit dem Wurzelkriterium. Da gegen 1 geht, geht also gegen . Das wiederrum bedeutet, dass der Grenzwert für n gegen unendlich =1 ist.
Daraus müsste folgen, dass die Reihe divergiert. Aber es ist ja irgendwie auch nicht ganz eindeutig. Oder hab ich einen Fehler drin?



Ich komme nicht ganz darauf, wie ich die Umformung mache, um auf zu kommen.
Angenommen ich gehe von der Darstellung aus, wäre meine Minorante . Ich erhalte aber und das ist immer größer als . Deshalb muss es divergieren. Richtig?
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Zur d) Nach dem Wurzelkriterium erhalte ich

Betrachte ich nun nur diesen zweiten Teil ist das nichts anderes als: Aber wie hilft mir das nun weiter? Der erste Teil geht gegen unendlich, der Zweite gegen 0...
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ldchris
Da gegen 1 geht, geht also gegen . Das wiederrum bedeutet, dass der Grenzwert für n gegen unendlich =1 ist.
Daraus müsste folgen, dass die Reihe divergiert.

Nein. Es sagt nur, daß mit dem Wurzelkriterium keine Aussage zu erhalten ist . smile

Zitat:
Original von ldchris
Ich komme nicht ganz darauf, wie ich die Umformung mache, um auf zu kommen.

Schreibe und kürze durch n^n. Augenzwinkern

Zitat:
Original von ldchris
Angenommen ich gehe von der Darstellung aus, wäre meine Minorante . Ich erhalte aber und das ist immer größer als . Deshalb muss es divergieren. Richtig?

Im Prinzip ja. Allerdings ist , aber du brauchst eine Abschätzung nach unten. Die bekommst du leicht mit der Bernoullischen Ungleichung:

Zitat:
Original von ldchris
Zur d) Nach dem Wurzelkriterium erhalte ich

Hatte ich gesagt, daß du das Wurzelkriterium nehmen sollst? verwirrt
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Oh tschuldigung verlesen, dann komme ich bei der d) mit dem Quotientenkriterium und soweit wie möglich gekürzt auf aber jetzt stoppts schon wieder..
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oh tschuldigung verlesen, dann komme ich bei der d) mit dem Quotientenkriterium und soweit wie möglich gekürzt auf aber jetzt stoppts schon wieder..


Ich habe es jetz nicht nachgerechnet, aber du könntest es ja mal ein wenig umschreiben.

Kommst du hiermit weiter ?



Hinweis: Denke an die Folge, die gegen e konvergiert.
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich probiers dann nochmal weiter mit Aufgabe d) aber son richtiges Licht ist mir noch net aufgegangen.

Die ersten beide Teile gehen gegen für n gegen unendlich richtig?
Und der dritte Teil geht, wenn ich wieder durch n^n kürze, gegen 1 oder?

Also ist der Limes =

Das wiederrum ist <1 und daraus folgt, die Reihe konvergiert richtig?
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuche ich parallel gleich noch Aufgabe g) weiter.

müsste gegen konvergieren oder? Das würde aber bedeuten, dass mein Grenzwert wieder 1 ist und ich dadurch keine Aussage treffen kann oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ldchris
Die ersten beide Teile gehen gegen für n gegen unendlich richtig?
Und der dritte Teil geht, wenn ich wieder durch n^n kürze, gegen 1 oder?

Was den Grenzwert vom 3. Teil angeht, solltest du dir mal deine Überlegungen zur Aufgabe a anschauen.

Zitat:
Original von ldchris
müsste gegen konvergieren oder? Das würde aber bedeuten, dass mein Grenzwert wieder 1 ist und ich dadurch keine Aussage treffen kann oder?

Ich würde mal sagen, daß pi/3 > 1 ist, oder?
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ich würde mal sagen, daß pi/3 > 1 ist, oder?

Ja das würde ich auch sagen, aber n/n+1 ist wiederrum minimal kleiner als 1 und hab es beispielsweise für n=100 in den TR eingegeben und das Ergebnis ist 1,001... Oder kann ich in diesem Fall trotzdem davon ausgehen, dass es >1 ist und daraus folgern, dass es divergiert?
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt hab ich glaub ich was.

Zu Aufgabe a)
kann ich nach oben abschätzen. Dadurch läuft die Folge gegen

Das ist kleiner als 1 und daraus folgere ich dann, dass Die Reihe a) konvergent ist oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ldchris
Zitat:
Original von klarsoweit
Ich würde mal sagen, daß pi/3 > 1 ist, oder?

Ja das würde ich auch sagen, aber n/n+1 ist wiederrum minimal kleiner als 1 und hab es beispielsweise für n=100 in den TR eingegeben und das Ergebnis ist 1,001... Oder kann ich in diesem Fall trotzdem davon ausgehen, dass es >1 ist und daraus folgern, dass es divergiert?

Mir scheint, du hast noch etwas Schwierigkeiten mit dem Grenzwertbegriff. Egal, welche Werte eine Folge zwischendurch mal hat: wenn der Grenzwert pi/3 ist, dann ist das eben pi/3 und damit ein Wert, der größer als 1 und nicht gleich 1 ist. Täte mich mal interessieren, was du dir so denkst, wenn du sagst, daß der Grenzwert gleich 1 ist, obwohl der doch in Wirklichkeit pi/3 ist.

Zitat:
Original von ldchris
Zu Aufgabe a)
kann ich nach oben abschätzen. Dadurch läuft die Folge gegen

Das ist kleiner als 1 und daraus folgere ich dann, dass Die Reihe a) konvergent ist oder?

Erstens geht es um Aufgabe d und zweitens ist der Grenzwert allenfalls kleiner oder gleich , wenn du die Abschätzung verwendest. Du kannst natürlich auch direkt verwenden, daß gegen e konvergiert.
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schonmal!

Mein Problem ist, dass ich immer zwischen Folge und Reihe durcheinander komme.

Eine Reihe z.b. konvergiert falls das an < 1 ist und divergiert, falls ihr an > 1 ist.

Ich muss also das an bestimmen und das erhalte ich durch den Grenzwert der Folge.

Deshalb versuche ich immer raus zu finden, ob etwas <1 oder >1 ist. Verstehst du, was ich damit meine?
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mein Problem ist, dass ich immer zwischen Folge und Reihe durcheinander komme. Eine Reihe z.b. konvergiert falls das an < 1 ist und divergiert, falls ihr an > 1 ist. Ich muss also das an bestimmen und das erhalte ich durch den Grenzwert der Folge. Deshalb versuche ich immer raus zu finden, ob etwas <1 oder >1 ist. Verstehst du, was ich damit meine?


Also erstmal (vielleicht habe ich es auch falsch verstanden) steht das an für die Folge.
Deine Argumentation ist ja auch korrekt, du musst bei den Kriterien zeigen das der Grenzwert kleiner, oder größer als 1 ist um zu einen Ergebnis zu kommen.

Was klarsoweit dir klar machen wollte, ist das es egal ist was die Folge für die ersten glieder macht.
Es ist nur von interesse was die Folge für alle bis auf endlich vielen Glieder macht.

Wenn du z.B. das Wurzelkriterium für Reihen anwendest, betrachtest du ja folgendes



Du benötigst also eine feste postive zahl q, die immer kleiner 1 ist. Also bestimmst du den Grenzwert deiner Folge, und dieser muss kleiner 1 sein. Ist dieser größer 1, wie z.B hier dann divergiert die Reihe:




=

=

Um jetz zu sagen ob es <1, oder >1 ist muss du folgendes betrachten





Somit hast du ein .

Also divergiert die Reihe. Ich hoffe mal du verstehst jetz ein wenig mehr, was der Grenzwert begriff aussagt, und was du bei den Konvergenzkriterien machen musst.

mfg. Hellsing Wink
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Ich werde heute Abend das nochmal für die restlichen Aufgaben versuchen, aber bis jetzt habt ihr mir wirklich sehr geholfen! Vielen Dank smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ldchris
Eine Reihe z.b. konvergiert falls das an < 1 ist und divergiert, falls ihr an > 1 ist.

Ich muss also das an bestimmen und das erhalte ich durch den Grenzwert der Folge.

Deshalb versuche ich immer raus zu finden, ob etwas <1 oder >1 ist. Verstehst du, was ich damit meine?

Nein, das ist mir einfach zu chaotisch. Was verstehst du denn unter a_n? Erläutere das hier an einer Aufgabe.
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Mein a_n ist im Prinzip das q, aus Hellsings Beitrag. Es ist einfach der Term hinter dem Summenzeichen.

Die Summe ist dann konvergent, wenn der Grenzwert <1 ist und divergent, falls er >1 ist.

Aber ich glaube durch Hellsings Beitrag ist mir das gerade um einiges klarer geworden.


Bei Aufgabe d) müsste ich ja nun folgern können, da mein Grenzwert ist und dadurch ist, ist q<1und daraus folgt, die Reihe ist konvergent oder?




Ich Versuche mich gerade an Aufgabe f) jedoch scheitere ich daran, das Wurzelkriterium anzuwenden.


f)

Muss ich hier nun die ziehen? Wie mache ich das denn?
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mein a_n ist im Prinzip das q, aus Hellsings Beitrag


Naja das q war bei mir sozusagen der Grenzwert der folge.



Okay wir sind mal bei Aufgabe

f)

Wir benutzen das Wurzelkriterium, was folgendes erfüllen muss:



Wir betrachten also die n-te Wurzel (immer nur die n-te bwz. auch eine andere Variable wie k-te Wurzel).

Unsere folge ist hier

Wir müssen also davon die n-te Wurzel ziehen:









Dann mach mal hier weiter.

Es kann auch sinvoll sein sich erstmal zu überlegen ob die Reihe eine Nullfolge bildet, dies ist nämlich ein notwendiges Kriterium damit die Reihe überhaupt konvergieren kann.

Ich habe hier jetz einfach mal stumpf das Wurzelkriterium angewand ohne zu überlegen ob es sinvoll ist. Dies überlasse ich nun auch einmal dir.
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich ebend auch nochmal anmerken wollte ist folgendes:

Zitat:


Da wir ja sowieso grade Grenzwerte betrachten, sag doch einfach das



Das hatte aber meine ich sogar schonmal jemand erwähnt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ldchris
Mein a_n ist im Prinzip das q, aus Hellsings Beitrag. Es ist einfach der Term hinter dem Summenzeichen.

Die Summe ist dann konvergent, wenn der Grenzwert <1 ist und divergent, falls er >1 ist.

Das ist in dieser Form schlicht und ergreifend falsch. Vielleicht schaust dir das Quotienten- bzw. Wurzelkriterium nochmal genauer an.
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Also:



Wenn ich von diesem Schritt hier ausgehe, kann ich im linken Teil wieder durch kürzen und erhalte den Grenzwert hier für kenne ich, nämlich .

Aber was mache ich mit dem zweiten Teil? Zusammengefasst ist es und der Grenzwert hierfür geht gegen 1.

Also sollte der Grenzwert der gesamten Summe gegen gehen.

Darausfolgt = q < 1

Und das bedeutet es ist konvergent oder?

@klarsoweit Ich habe es glaube ich vom Prinzip mitlerweile verstanden, es fällt mir nur schwer meine Gedankengänge in Worte zu fassen. Ich werde mich morgen nocheinmal hinsetzen und mir a_n, q etc. ansehen
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich von diesem Schritt hier ausgehe, kann ich im linken Teil wieder durch kürzen und erhalte


Das ist korrekt, auch wenn ich es so übersichtlicher geschrieben finde:



aber das kann man machen wie man gerne möchte.

Zitat:
den Grenzwert hier für kenne ich, nämlich .


Freude

Zitat:
Aber was mache ich mit dem zweiten Teil? Zusammengefasst ist es und der Grenzwert hierfür geht gegen 1


Das ist so nicht korrekt. Schau dir nochmal die Potenzgesetze an.



Potenzgesetze




gilt trotzedem.

Zitat:
Darausfolgt = q < 1 Und das bedeutet es ist konvergent oder?


Freude

Das mit dem q musst du übrigens nicht schreiben. Ich habe es nur mal gemacht damit klar wird das
der Wert echt kleiner 1 sein muss, und sich nicht belibig nah an die eins annähren darf (sprich Grenzwert = 1 keine Aussage).
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