Integration durch Substitution

04.05.2012, 17:14

Hannnes

Integration durch Substitution

Meine Frage:
Die Frage steht genau so auf meinem Aufgabenblatt:
Berechnen sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode.
$\begin{eqnarray*} \int \limits_{0} ^{1} \frac{x^{2}+t}{x+t} dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
nun, für die Anwendung der Substitutionsmethode brauche ich ja immer eine verkettete Funktion, die kann ich hier aber nicht erkennen.

Ich habe die ganze Sache dann mit der partiellen Integration (mit Mühe und Not) gelöst.
$\begin{eqnarray*} \int \limits_{0} ^{1} \underbrace{(x^{2}+t)}_{Faktor 1} \cdot \underbrace{(x+t)^{-1}}_{Faktor 2} dx \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun folgende, lässt sich die erwähnte Aufgabe irgendwie (hoffentlich leichter) mittels Substitution lösen? Und wenn ja, wie.

Vielen Danks für eure Tipps

Hannes

04.05.2012, 18:12

pik 7

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Ich würde einfach eine Polynomdivision durchführen. Dann erhält man eine Summe von Funktionen, deren Integrale man sofort ablesen kann.

04.05.2012, 18:18

pic 7

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Wenn man durchaus und durch eine Substition durchführen will, dann kann etwa z = x + t setzen.

Die simple Substitution führt dann zu einem Polynom p(z) im Zähler, das durch z dividiert wird. Auch in diesem Fall kann man dann wieder gliedweise intergrieren ... der Rechenaufwand dürfte in etwa der gleiche sein, wie bei der o.a. Polynomdivision.

04.05.2012, 19:23

Hannnes

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Integration durch Substitution
Hallo pik7

Vielen Dank für deine Antwort!

Zitat:

Ich würde einfach eine Polynomdivision durchführen. Dann erhält man eine Summe von Funktionen, deren Integrale man sofort ablesen kann.

nice and easy! Habe ich so gemacht - funktioniert Freude

ich denke mal, dies wäre auch die Musterlösung

Aber auch deine 2. Lösung interessiert mich, ich habe sie aber nicht ganz verstanden.

Zitat:

Wenn man durchaus und durch eine Substition durchführen will, dann kann etwa z = x + t setzen.

$\begin{eqnarray*} z = x +1 \Rightarrow x = z - 1 \end{eqnarray*}$
Das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \int \limits ^{0}_{1} \frac{(z-1)^2+t}{z} dx \end{eqnarray*}$

Ich sehe nicht ganz, wie mir das jetzt weiterhelfen soll. Kannst Du mir da auch noch einen Tipp geben. Vielen Dank schon jetzt.

Hannes

04.05.2012, 20:14

pic 7

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na, jetzt löst du einfach die Klammer auf und dividierst jeden Summanden durch z.

07.05.2012, 11:51

hannnes

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ja klar! Vielen Dank!

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