Prinzip! Lagrange Multiplikatoren - Seite 2

Neue Frage »

05.05.2012, 20:42

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x1,x2)=x1^{4}+2*x1^{2}*x2^{4}+x2^{2}-2x1^{2}+2x2^{2} \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 20:43

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x1,x2)=x1^{4}+2*x1^{2}*x2^{2}+x2^{4}-2x1^{2}+2x2^{2} \end{eqnarray*}$

so??

05.05.2012, 20:50

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Hochzahlen irgendwie vertauscht.
$\begin{eqnarray*} x1^{4}+2*x1^{2}*x2^{\textcolor{red}{2}}+x2^{\textcolor{red}{4}}-2x1^{2}+2x2^{2} \end{eqnarray*}$

Ja so sieht das schon viel besser aus. Jetzt nach x1 ableiten. x2 ist dann wie ein ganz normaler Faktor.

05.05.2012, 20:53

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das ableite muss ich das dann mit der Hesse matrix machen?

05.05.2012, 20:56

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableiten kannst du erstmal ganz normal. Die Ableitungen ergeben dann die Hesse-Matrix. Einfach jetzt erst mal nach x1 ableiten.

05.05.2012, 21:04

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

nach x1 so??

$\begin{eqnarray*} 4x1^{3}+4x1-4x1=0 \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 21:06

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Freude

Jetzt nach x2 ableiten.

05.05.2012, 21:13

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt x2:

$\begin{eqnarray*} 4x2+4x2^{3}+4x2=0 \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 21:23

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

meine Konzentration lässt langsam nach.

Du hast ja nach x1 abgeleitet.

es kommt raus.

$\begin{eqnarray*} 4x_1^3+4x_1*\textcolor{red}{x_2^2}-4x_1 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ist ein ganz normaler Faktor. Einfach mit nehmen.

Jetzt noch mal nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ableiten, wenn die Konzentration noch reicht. Meine geht langsam zur Neige. Hierbei ist $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ der Faktor den man einfach mitnimmt (mit den Hochzahlen).

05.05.2012, 21:30

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

so x2:

$\begin{eqnarray*} x1^{2}*2x2+4x2^{3}+4x2=0 \end{eqnarray*}$

so nur noch das dann machen wir morgen weiter wenn du willst?

05.05.2012, 21:48

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wäre nicht schlecht, wenn wir morgen weiter machen.

Nicht schlecht. Ich habe nur am Anfang noch eine zwei stehen:

$\begin{eqnarray*} 2x1^2*2x2+4x2^3+4x2 \end{eqnarray*}$

Ja fast richtig. War schon wirklich gut. Also bis morgen in aller Stärke. Willkommen

05.05.2012, 21:51

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

joo bis morgen Willkommen

DAnke!!!

06.05.2012, 06:04

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Marcel,

habe noch ein Link für Dich. Den kannst du ja mal durchlesen. Seite 6-7 ist was über die Hessematrix und ihre Definitheit beschrieben. Insbesondere ab Seite 9 sind ein paar interessante Beispiele.

Wenn du Dir schon mal anschauen willst wie man eine Determinante berechnet, dann z.B. hier
Bin heute Nachmittag wieder online. Bis dann.

Mit freundlichen Grüßen.

06.05.2012, 13:10

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

ok mache ich!!

06.05.2012, 17:56

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

bist du da???

06.05.2012, 18:30

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

06.05.2012, 18:45

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

super wie mach ich aus den beiden ableitungen jetzt die hesse matrix??

06.05.2012, 20:19

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest die beiden Ableitungen erstmal null setzen und die x bzw. y-Werte für die Exetrempunkte bestimmen.

06.05.2012, 20:42

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber muss man nicht irgendwie mit der Hesse matrix machen!

06.05.2012, 20:49

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse noch mal die Ableitungen zusammen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y}{\partial x_1}=4x_1^3+4x_1 \cdot x_2^2 - 4 \cdot x_1=0<br /> \frac{\partial y}{\partial x_2}=4x_2^3+4x_1^2 \cdot x_2 + 4 \cdot x_2=0 \end{eqnarray*}$

Du kannst dabei die erste Gleichung sofort durch x1 teilen, da alle einzelnen Glieder den Faktor $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ haben. Hat keine Auswirkung auf die Lösung.

Vis versa mit Gleichung 2.

Die Hesse-Matrix nur für Entscheidung ob Hoch- Tief- oder Sattelpunkt.
Extrempunkte ermitteln: 1. Ableitungen null setzen und lösen. S. 6-6 zweite Hälfte von Link

06.05.2012, 21:01

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht wie ich die beiden glaeichungen nach x und y auflösen soll??

06.05.2012, 21:07

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

erste Gleichung durch x1:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y}{\partial x_1}=4x_1^2+4 x_2^2 - 4 =0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung nach x1 auflösen. Ohne Wurzelausdruck geht es nicht. Und dann diesen Ausdruck für x1 in die zweite Gleichung einsetzen (Vorher die zweite Gleichung durch x2 teilen). Hier verschwindet der Wurzelausdruck wieder.

06.05.2012, 21:14

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht so die 2 Gleichung durch 2 aus?

$\begin{eqnarray*} 2x1^{2}*x2+4x2^{2}+4=0 \end{eqnarray*}$

06.05.2012, 21:18

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

leider nein.

Die zweite Gleichung durch x2 teilen. Jedes einzelne Glied. Versuchs noch mal.

06.05.2012, 21:25

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

sooo

$\begin{eqnarray*} 2x1^{2} *2+4x2^{2}+4=0 \end{eqnarray*}$

06.05.2012, 21:39

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider immer noch nicht.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} 4x_2^3 \end{eqnarray*}$ geteilt durch $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

Was ist $\begin{eqnarray*} 4x_1^2*x_2 \end{eqnarray*}$ geteilt durch $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

Was ist $\begin{eqnarray*} 4x_2 \end{eqnarray*}$ geteilt durch $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2012, 21:45

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

so???????
$\begin{eqnarray*} 3x2^{3} +4x1^{2}+4=0 \end{eqnarray*}$

06.05.2012, 21:49

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden letzten sind richtig. Beim ersten Ausdruck einfach eine Hochzahl weniger.
Also:

$\begin{eqnarray*} 4x_2^{2} +4x_1^{2}+4=0 \end{eqnarray*}$

Hast du denn die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ aufgelöst?

06.05.2012, 21:54

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

so nach x1???

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{-4x2^{2}+4 }{4} } \end{eqnarray*}$

06.05.2012, 22:04

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Jaa.

Jetzt in die 2. Gleichung einsetzten. Mal schauen ob was vernünftiges rauskommt.

06.05.2012, 22:07

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt nach x1 auflösen??

06.05.2012, 22:07

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry nach x2???

06.05.2012, 22:13

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Deinen Ausdruck für x1 in die 2. Gleichung einsetzen. Dann sind in der 2. Gleichung nur noch x2 vorhanden.

Zitat:

sorry nach x2???

Genau.

06.05.2012, 22:27

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

ich bekomme da irgendwie nix raus duu??

06.05.2012, 22:45

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Gut von dir gerechnet. Freude

Also ist x1 = 0 und x2 = 0 die einzige Lösung. Das liegt daran, dass wir vorher die Gleichungen durch x1 und x2 geteilt haben. Damit haben wir die Lösung x1 = x2 = 0.

Jetzt muss man die Hessematrix aufstellen. Hierfür brauchen wir die drei mal die zweiten Ableitungen. Die erste Gleichung (1. Ableitung nach x1) nach x1 und x2 ableiten. Und die zweite Gleichung (1. Ableitung nach x2) nach x2 Ableiten.

Am Besten erstmal die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial y}{ \partial x_1 \partial x_1} \end{eqnarray*}$ machen.

06.05.2012, 23:44

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Marcel,

zu Bett gegangen? Wenn ja, gute Nacht.

07.05.2012, 13:41

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

jop sorry!

07.05.2012, 21:16

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

08.05.2012, 18:34

Marcel 19

Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir die ableitungen nach x und y sagen?

$\begin{eqnarray*} x^{3}+xy^{2}-x=0 \end{eqnarray*}$ nach x und y?

$\begin{eqnarray*} yx^{2}+y^{2}+y=0 \end{eqnarray*}$ nach x und y?

ich will sie nur kontrollieren hab die ableitungen schon aber ich hab jetzt kein zeit sie einzutippen! Wink

08.05.2012, 18:54

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich sage dir mal die Ableitungen der ersten Gleichung nach x und nach y:

nach x: $\begin{eqnarray*} 3x^2 + y^2 -1 \end{eqnarray*}$
nach y: $\begin{eqnarray*} 2*xy \end{eqnarray*}$

Wie sieht es denn bei der zweiten Gleichung aus?

« vorherige Seite 123 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Prinzip! Lagrange Multiplikatoren - Seite 2

Verwandte Themen