Prinzip! Lagrange Multiplikatoren

04.05.2012, 17:57

Marcel 19

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Lagrange Multiplikatoren

Meine Frage:
In der Aufgabe geht es um eine 400m Laufbahn die aus zwei parallelen Längen a mit 2 angesetzten halbkreisen (radius r) die Spielfläche umschließt. Jetzt die Frage :Für welche Kombination von r und a wird die rechteckige spielfläche maximal? (unbedingt mit der Lagrage-Multiplikatoren lösen)

A=6366m^2
a=100m
r=31.8m

Meine Ideen:
Dazu müsste man umfang und Flächeninhalt in a und r in eine Fuktion schreiben (extremwertaufgabe) und mit hielfe der Lagrage-Multiplikatoren lösen.

04.05.2012, 18:17

Kasen75

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Hallo,

was du als erstes machen musst, ist die Formel für die Länge der Strecke zu ermitteln (in Abhängigkeit von a und r). Die ist dann Grundlage für die Nebenbedingung.

Und dann noch die Formel für den Flächeninhalt (in Abhängigkeit von a und r). Das wird dann die zu maximierende Zielfunktion.

Hast du da eine Idee?

Mit freundlichen Grüßen

04.05.2012, 18:27

Marcel 19

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Nee sorry das verstehe ich irgendwie nicht!
verwirrt

verwirrt

Meinst du vielleicht A=a*B und Akreis pi *r^2

04.05.2012, 18:44

Kasen75

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Du hast ja diese Laufbahn. Am Besten mal aufzeichnen Das ist der beste Tipp den ich dir geben kann. Alles was jetzt noch kommt ist nicht so gut wie dieser Tipp.

Wenn man jetzt den Umfang beschreiben will dann hat man erstmal zwei gerade Strecken. Für eine einzelne Gerade Strecke nimmt man die Variable a. Was sind dann 2 gerade Strecken?

Die Bögen der Laufbahn sind ja 2 Halbkreise (Was sind zwei Halbkreise?). Den Umfang der 2 Halbkreise mit hilfe der Variable r ausdrücken.
Soviel zum Umfang. Versuch den erstmal in eine Formel zu packen.

Mit freundlichen Grüßen.

04.05.2012, 19:29

Marcel 19

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ok

also die 2 geraden sind ja 2a!
und die 2 halbkreise sind 1 ganzer kreis das sind 2pi

2a*2pi=umfang

oder??

04.05.2012, 19:53

Kasen75

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Zitat:

und die 2 halbkreise sind 1 ganzer kreis ...

Freude

Zitat:

...das sind 2pi

$\begin{eqnarray*} U (Kreis) = 2 \cdot \pi ? \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Zitat:

2a*2pi=umfang

Warum multiplizierst du hier?

Mit freundlichen Grüßen

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04.05.2012, 20:02

Marcel 19

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Ukreis= 2*pi*r

sorry addiren wäre besser was!

2pi+2*pi*r

oder?

04.05.2012, 20:28

Kasen75

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Ich fass mal richtig zusammen:

Wir haben die zwei Geraden: 2a
Dann die zwei Halbkreise: $\begin{eqnarray*} 2 \pi r \end{eqnarray*}$

Zusammen ergibt das: $\begin{eqnarray*} U = 2a + 2 \pi r \end{eqnarray*}$

Damit kannst du die Nebenbedingung mit dem Lagrangemultiplikator aufstellen. Versuch das mal.

Maximiert werden soll ja die rechteckige Fläche in der Laufbahn. Wie ist die Formel für die Fläche in der Laufbahn? Es kommen die beiden Variablen a und r vor.

Mit freundlichen Grüßen

04.05.2012, 20:33

Marcel 19

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Fläche in der laufbahn wäre:

a*b+pi*r^2=a

Ich verstehe jetzt nicht wie ich die Nebenbed. aufstellen soll?

04.05.2012, 20:41

Kasen75

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Entschuldigung es soll ja nicht die Fläche der Laufbahn maximiert werden, sondern die Fläche der Spielfläche. Hammer

Hammer

Fläche der Spielfläche ?

Die Nebenbedingung ist ja, dass die Laufbahn 400 Meter sein soll.

Also ist die Nebenbedingung mit Lagrangemultiplikator: $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (400-2a - 2\pi r) \end{eqnarray*}$

04.05.2012, 20:52

Marcel 19

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Fläche spielfelts ist ja
a*b=A

und wie ich gehe ich weiter vor???

04.05.2012, 20:57

Kasen75

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a ist schon mal gut Freude

Freude

Die Frage ist nur was ist b. Das ist ein Ausdruck in der r vorkommt (kein b). Schau doch mal auf deine Skizze. Da kannst du sehr leicht sehen was b ist.

04.05.2012, 21:06

Marcel 19

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b ist 2r

04.05.2012, 21:14

Kasen75

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Perfekt.

Jetzt kann man die Lagrangefunktion aufstellen:

maximiert werden muss die Spielfläche: $\begin{eqnarray*} a \cdot 2r \end{eqnarray*}$

Die Nebenbedingung ist: $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (400-2a - 2\pi r) \end{eqnarray*}$

Die Lagrangefunktion ist dann:

$\begin{eqnarray*} L = a \cdot 2r + \lambda \cdot (400-2a - 2\pi r) \end{eqnarray*}$

Diese Funktion muss man jetzt nach a, r und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ableiten.

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist wie ein ganz normaler Faktor zu behandeln.

Mach am Besten erst mal die Ableitung nach a.

04.05.2012, 21:29

Marcel 19

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Verstehe nicht wie ich das ableiten soll???
SORRY verwirrt

verwirrt

04.05.2012, 21:37

Kasen75

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Ok.

Ich werde erst mal den Lagrangemultiplikator ausmultiplizieren, dann sieht man es leichter wie man ableiten muss.

$\begin{eqnarray*} L = a \cdot 2r + \lambda \cdot 400- \lambda \cdot 2a - \lambda \cdot 2\pi r \end{eqnarray*}$

Dann leite ich mal nach a ab Du kannst ja dann mal nach r ableiten.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial a}=2r - 2 \cdot \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung muss natürlich, wie oben, Null gesetzt werden.

05.05.2012, 14:11

Marcel 19

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wenn ich das Ableite wie geht es dann weiter???ß

05.05.2012, 14:14

Kasen75

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Hast du denn schon nach r abgeleitet? Dass wäre der nächste Schritt. Danach nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ableiten. Leite doch erst mal nach r ab.

05.05.2012, 16:31

Marcel 19

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Wenn man nach r ableitet bekommt mann:

a*2-2pi*Lambda=0

oder?

05.05.2012, 16:38

Marcel 19

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und nach lambda abgeleitet ist:

a*2r+400-2a-2pir=0

oder?

05.05.2012, 17:36

Kasen75

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a*2-2pi*Lambda=0 \end{eqnarray*}$

Perfekt:

Freude

$\begin{eqnarray*} 400-2a-2pir=0 \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} a \cdot 2r \end{eqnarray*}$ hat kein Lambda und fällt deswegen weg.

Jetzt hat man das Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial a}=2r - 2 \cdot \lambda = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r}=2a - 2 \cdot \ pi \cdot \lambda = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r}=400 - 2 \cdot \ pi \cdot r - 2 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du z.B. die 1. Gleichung nach Lambda auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen.

Dann nach a auflösen. Damit hast du schon eine eindeutige Beziehung zwischen a und r. Wenn du jetzt den Ausdruck für a in die 3. Gleichung einsetzt, dann bekommst du für a einen konreten Wert heraus.

Da du dann schon eine eindeutige Beziehung zwischen a und r hergestellt hast, kannst du somit auch einen konreten Wert für r bestimmen.

05.05.2012, 18:04

Marcel 19

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Super danke soweit bist ech ne große hilfe!

Aber nach was soll ich die 3 gleichung den auflösen??

05.05.2012, 18:23

Kasen75

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Eigentlich hatte es ja beschrieben:

Gleichung 1:

2r-2*Lambda=0
2L auf die rechte Seite. D.h. beide Seiten +2L.

2r=2*Lambda

Gleichung durch 2

?=Lambda

(Was ist das Fragezeichen?)

Den Ausdruck für Lambda setzt du in die zweite Gleichung ein und versuchst nach a aufzulösen.

05.05.2012, 18:27

Marcel 19

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Lambda=-2r:-2

05.05.2012, 18:28

Marcel 19

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Bei mirkommt für die werte:

a=99,903m
r=31,724m

05.05.2012, 18:31

Kasen75

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Na also hast du auf jeden Fall schon mal die richtigen Ergebnisse. Freude

Freude

Freude

Freude

(von Rundungsfehler mal abgesehen)

Wie hast du den jetzt gerechnet. Würde mich echt interessieren.

05.05.2012, 18:37

Marcel 19

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Also ich habe die 1 Gleichung na lamda augelöst!
Dann habe ich Lambda in die 2 Gleichung eisngesetzt. und da das a augerechnet!
dann a in der 3 gleichung eingestezt und dann r ausgerechnet!

Super tausend dank!! Freude

Freude

für die Hilfe!!

Darf ich dir noch ne Frage zum anderen Thema stellen?

05.05.2012, 18:42

Kasen75

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Welches Thema?

05.05.2012, 18:46

Marcel 19

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Funktion auf extremstellen untersuchen!!

diese Funktion:

f(x1,x2)=(x1^2+x2^2)^2-2*(x1^2-x2^2)

auf lokale Extremstellen untersuchen!

05.05.2012, 19:08

Kasen75

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Mach mal lieber ein neues Thema auf. Auf jeden Fall würde ich als Appetizer für einen potentiellen Helfer die Ableitungen nach x1 und x2 machen.

Und dann noch mal jeweils nach x1 und x2. Dann hast du zweimal nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ bzw. nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ abgeleitet und einmal erst nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und danach nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2f}{\partial x_1^2}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2f}{\partial x_2^2}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2f}{\partial x_1 \partial x_2}= \end{eqnarray*}$

Dieser Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \partial x_2^2 \end{eqnarray*}$ steht dafür, dass zweimal nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ abgeleitet wurde. Bei $\begin{eqnarray*} \partial x_1^2 \end{eqnarray*}$ ist es das gleiche, nur für x1.

Das würde ich mal versuchen und ein neues Thema aufmachen.

Auf jedenfall hast du zum Schluss einen richtigen Schlussspurt hingelegt.

Mit freundlichen Grüßen.

05.05.2012, 19:41

Marcel 19

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ja ich habe das schon gepostet aber da konnte mir auch keiner helfen!!

05.05.2012, 20:01

Kasen75

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Die meinten, dass du die Ableitungen machen sollst. Das solltest du machen. Ich würde die Funktion einfach mal x1 ableiten. Wenn dich die Klammern stören, dann vorher ausmultiplizieren.

$\begin{eqnarray*} f(x1,x2)=(x1^2+x2^2)^2-2*(x1^2-x2^2) \end{eqnarray*}$

Ich habe im Übrigen das was du geschrieben hast einfach die Latexfunktion benutzt. War ne Sache von einer Sekunde. Sieht doch schon viel besser aus?

05.05.2012, 20:07

Marcel 19

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und was ist mit dem ^2 im ersten term wenn ich das rechene steht doch da ^4

oder?

05.05.2012, 20:08

Kasen75

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absolut richtig

05.05.2012, 20:13

Marcel 19

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$\begin{eqnarray*} f(x1,x2)=(x1^{2}+x2^{2})^{2} -2x1^{2}+2x2^{2} \end{eqnarray*}$

so??

05.05.2012, 20:21

Marcel 19

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$\begin{eqnarray*} f(x1,x2)=x1^{4}+x2^{4} -2x1^{2}+2x2^{2} \end{eqnarray*}$

da dann so?

05.05.2012, 20:22

Kasen75

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Du kannst auch noch die erste Klammer auflösen. Die zweite Klammer ist korrekt. Auch das Vorzeichen. Freude

Freude

05.05.2012, 20:23

Kasen75

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1. Binomische Formel berücksichtigen!

05.05.2012, 20:31

Marcel 19

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$\begin{eqnarray*} f(x1,x2)=x1^{8}+x2^{8} -2x1^{2}+2x2^{2} \end{eqnarray*}$

ja dann so sorry hab ich nicht berrücksichtigt!

05.05.2012, 20:37

Kasen75

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Es geht jetzt nur um den ersten Teil. Das andere ist ja schon richtig!

$\begin{eqnarray*} =(x1^{2}+x2^{2})^{2} \end{eqnarray*}$

Die 1. binomische Formel ist: $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

hier ist $\begin{eqnarray*} a = x_1^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b= x_2^2 \end{eqnarray*}$

Einfach in die Formel einsetzen und den zweiten Teil dazuschreiben.

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