Prinzip! Lagrange Multiplikatoren

Neue Frage »

Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Multiplikatoren
Meine Frage:
In der Aufgabe geht es um eine 400m Laufbahn die aus zwei parallelen Längen a mit 2 angesetzten halbkreisen (radius r) die Spielfläche umschließt. Jetzt die Frage :Für welche Kombination von r und a wird die rechteckige spielfläche maximal? (unbedingt mit der Lagrage-Multiplikatoren lösen)

A=6366m^2
a=100m
r=31.8m

Meine Ideen:
Dazu müsste man umfang und Flächeninhalt in a und r in eine Fuktion schreiben (extremwertaufgabe) und mit hielfe der Lagrage-Multiplikatoren lösen.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was du als erstes machen musst, ist die Formel für die Länge der Strecke zu ermitteln (in Abhängigkeit von a und r). Die ist dann Grundlage für die Nebenbedingung.

Und dann noch die Formel für den Flächeninhalt (in Abhängigkeit von a und r). Das wird dann die zu maximierende Zielfunktion.

Hast du da eine Idee?

Mit freundlichen Grüßen
 
 
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Nee sorry das verstehe ich irgendwie nicht!
verwirrt

Meinst du vielleicht A=a*B und Akreis pi *r^2
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja diese Laufbahn. Am Besten mal aufzeichnen Das ist der beste Tipp den ich dir geben kann. Alles was jetzt noch kommt ist nicht so gut wie dieser Tipp.

Wenn man jetzt den Umfang beschreiben will dann hat man erstmal zwei gerade Strecken. Für eine einzelne Gerade Strecke nimmt man die Variable a. Was sind dann 2 gerade Strecken?

Die Bögen der Laufbahn sind ja 2 Halbkreise (Was sind zwei Halbkreise?). Den Umfang der 2 Halbkreise mit hilfe der Variable r ausdrücken.
Soviel zum Umfang. Versuch den erstmal in eine Formel zu packen.

Mit freundlichen Grüßen.
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

ok

also die 2 geraden sind ja 2a!
und die 2 halbkreise sind 1 ganzer kreis das sind 2pi

2a*2pi=umfang

oder??
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und die 2 halbkreise sind 1 ganzer kreis ...
Freude

Zitat:
...das sind 2pi




verwirrt


Zitat:
2a*2pi=umfang


Warum multiplizierst du hier?

Mit freundlichen Grüßen
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ukreis= 2*pi*r

sorry addiren wäre besser was!

2pi+2*pi*r

oder?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fass mal richtig zusammen:

Wir haben die zwei Geraden: 2a
Dann die zwei Halbkreise:

Zusammen ergibt das:

Damit kannst du die Nebenbedingung mit dem Lagrangemultiplikator aufstellen. Versuch das mal.

Maximiert werden soll ja die rechteckige Fläche in der Laufbahn. Wie ist die Formel für die Fläche in der Laufbahn? Es kommen die beiden Variablen a und r vor.

Mit freundlichen Grüßen
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Fläche in der laufbahn wäre:

a*b+pi*r^2=a

Ich verstehe jetzt nicht wie ich die Nebenbed. aufstellen soll?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung es soll ja nicht die Fläche der Laufbahn maximiert werden, sondern die Fläche der Spielfläche. Hammer

Fläche der Spielfläche ?

Die Nebenbedingung ist ja, dass die Laufbahn 400 Meter sein soll.

Also ist die Nebenbedingung mit Lagrangemultiplikator:
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Fläche spielfelts ist ja
a*b=A

und wie ich gehe ich weiter vor???
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

a ist schon mal gut Freude

Die Frage ist nur was ist b. Das ist ein Ausdruck in der r vorkommt (kein b). Schau doch mal auf deine Skizze. Da kannst du sehr leicht sehen was b ist.
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

b ist 2r
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt.

Jetzt kann man die Lagrangefunktion aufstellen:

maximiert werden muss die Spielfläche:

Die Nebenbedingung ist:

Die Lagrangefunktion ist dann:



Diese Funktion muss man jetzt nach a, r und ableiten.

ist wie ein ganz normaler Faktor zu behandeln.

Mach am Besten erst mal die Ableitung nach a.
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht wie ich das ableiten soll???
SORRY verwirrt
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Ich werde erst mal den Lagrangemultiplikator ausmultiplizieren, dann sieht man es leichter wie man ableiten muss.



Dann leite ich mal nach a ab Du kannst ja dann mal nach r ableiten.



Die Ableitung muss natürlich, wie oben, Null gesetzt werden.
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das Ableite wie geht es dann weiter???ß
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn schon nach r abgeleitet? Dass wäre der nächste Schritt. Danach nach ableiten. Leite doch erst mal nach r ab.
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man nach r ableitet bekommt mann:

a*2-2pi*Lambda=0

oder?
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

und nach lambda abgeleitet ist:

a*2r+400-2a-2pir=0

oder?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Perfekt: Freude



Der Ausdruck hat kein Lambda und fällt deswegen weg.

Jetzt hat man das Gleichungssystem:





Jetzt kannst du z.B. die 1. Gleichung nach Lambda auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen.

Dann nach a auflösen. Damit hast du schon eine eindeutige Beziehung zwischen a und r. Wenn du jetzt den Ausdruck für a in die 3. Gleichung einsetzt, dann bekommst du für a einen konreten Wert heraus.

Da du dann schon eine eindeutige Beziehung zwischen a und r hergestellt hast, kannst du somit auch einen konreten Wert für r bestimmen.
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke soweit bist ech ne große hilfe!

Aber nach was soll ich die 3 gleichung den auflösen??
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hatte es ja beschrieben:

Gleichung 1:



2r-2*Lambda=0
2L auf die rechte Seite. D.h. beide Seiten +2L.

2r=2*Lambda

Gleichung durch 2

?=Lambda

(Was ist das Fragezeichen?)

Den Ausdruck für Lambda setzt du in die zweite Gleichung ein und versuchst nach a aufzulösen.
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Lambda=-2r:-2
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mirkommt für die werte:

a=99,903m
r=31,724m
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Na also hast du auf jeden Fall schon mal die richtigen Ergebnisse. Freude Freude Freude
(von Rundungsfehler mal abgesehen)

Wie hast du den jetzt gerechnet. Würde mich echt interessieren.
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe die 1 Gleichung na lamda augelöst!
Dann habe ich Lambda in die 2 Gleichung eisngesetzt. und da das a augerechnet!
dann a in der 3 gleichung eingestezt und dann r ausgerechnet!


Super tausend dank!! Freude für die Hilfe!!

Darf ich dir noch ne Frage zum anderen Thema stellen?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Thema?
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

Funktion auf extremstellen untersuchen!!

diese Funktion:

f(x1,x2)=(x1^2+x2^2)^2-2*(x1^2-x2^2)

auf lokale Extremstellen untersuchen!
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Mach mal lieber ein neues Thema auf. Auf jeden Fall würde ich als Appetizer für einen potentiellen Helfer die Ableitungen nach x1 und x2 machen.

Und dann noch mal jeweils nach x1 und x2. Dann hast du zweimal nach bzw. nach abgeleitet und einmal erst nach und danach nach







Dieser Bezeichnung steht dafür, dass zweimal nach abgeleitet wurde. Bei ist es das gleiche, nur für x1.

Das würde ich mal versuchen und ein neues Thema aufmachen.

Auf jedenfall hast du zum Schluss einen richtigen Schlussspurt hingelegt.

Mit freundlichen Grüßen.
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich habe das schon gepostet aber da konnte mir auch keiner helfen!!
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Die meinten, dass du die Ableitungen machen sollst. Das solltest du machen. Ich würde die Funktion einfach mal x1 ableiten. Wenn dich die Klammern stören, dann vorher ausmultiplizieren.



Ich habe im Übrigen das was du geschrieben hast einfach die Latexfunktion benutzt. War ne Sache von einer Sekunde. Sieht doch schon viel besser aus?
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »

und was ist mit dem ^2 im ersten term wenn ich das rechene steht doch da ^4

oder?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

absolut richtig
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »



so??
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »



da dann so?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch noch die erste Klammer auflösen. Die zweite Klammer ist korrekt. Auch das Vorzeichen. Freude
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Binomische Formel berücksichtigen!
Marcel 19 Auf diesen Beitrag antworten »




ja dann so sorry hab ich nicht berrücksichtigt!
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht jetzt nur um den ersten Teil. Das andere ist ja schon richtig!



Die 1. binomische Formel ist:

hier ist


Einfach in die Formel einsetzen und den zweiten Teil dazuschreiben.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »