Quantile, KI, Ordnungsstatistk

04.05.2012, 18:24	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Quantile, KI, Ordnungsstatistk Meine Frage: $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ seien u.i.v. Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F, F stetig, $\begin{eqnarray} q_p:=F^{-1}(p) \end{eqnarray}$ Bestimme für $\begin{eqnarray} n=40 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r,s,1\leq r<s\leq n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s-r \end{eqnarray}$ minimal, sodaß $\begin{eqnarray} P(X_{(r)}\leq q_{0,3}\leq X_{(s)})\geq 0,95 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Hallo, liebe MatheboardlerINNEN, ich habe mir zu dieser Aufgabe natürlich auch ein paar eigene Gedanken gemacht: Also erstmal sind doch viele verschiedene Lösungen möglich; ich verstehe die Aufgabe so, daß man r und s (mit s-r minimal) bestimmen soll, sodaß das Gewünschte gilt und das müsste m.W. für viele verschiedene r und s möglich sein. Ich habe r und s so bestimmt: Es gilt $\begin{eqnarray} P(X_{(r)}\leq q_{0,3}\leq X_{(s)})=\sum_{k=r}^{s-1}\binom{40}{k}0,3^{i}0,7^{40-i}\approx \underbrace{\Phi\left(\frac{s-1+0,5-12}{\sqrt{8,4}}\right)}_{=:A}-\underbrace{\Phi\left(\frac{r-0,5-12}{\sqrt{8,4}}\right)}_{=:B} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich mir überlegt, für welche Zahl der Ausdruck A nah bei 0,95 liegt; das ist der Fall für 1,65. Dafür muss s etwa 17,28 sein; da für s nur ganzzahlige Werte Sinn machen, habe ich einmal angenommen, daß s=17 und einmal, daß s=18. Dann habe ich den Ausdruck B für verschiedene Werte für r ausgerechnet (r=1,2,3,...) und bin darauf gekommen, daß $\begin{eqnarray} s=18, r=6 \end{eqnarray}$ ein mögliches Paar ist. s=18 eingesetzt in A und r=8 eingesetzt in B und dann subtrahiert liefert 0,95873. Für r>6 fallen die Ergebnisse immer weiter weg von 0,95 und sind kleiner als 0,95; für n<6 wachsen die Werte immer weiter weg von 0,95 und sind größer als 0,95; es sind dann ja aber die Differenzen 18-r größer und es gilt ja zwei Dinge zu erfüllen: 1.) Die Wahrscheinlichkeit soll ja größer oder gleich 0,95 sein. 2.) s-r soll minimal sein. Sodaß ich 1.) und 2.) nur erfüllt sehe für s=18, r=8. Ich wüsste gerne, ob dies eine mögliche Lösung der Aufgabe ist. (Und ob es stimmt, daß es noch viele andere Lösungen gäbe.) Danke!
05.05.2012, 12:40	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, kommt da noch eine Reaktion oder hab ich etwas blöd ausgedrückt/ vergessen?

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