Äquivalenz von Normen

04.05.2012, 18:52	hahannes	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Normen Hallo, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} ~\mathbb R^{(~\mathbb N)} \end{eqnarray}$ sei der Raum der abbrechenden reellen Folgen, d.h. ab einen n>N ist jedes Folgeglied gleich Null. Auf diese Raum soll man die Normen $\begin{eqnarray} //(a_{n})_{n\in~\mathbb N}//_{unendlich}=max{/a_n/ /n\in~\mathbb N}\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} //(a_{n})_{n\in~\mathbb N}//_1=\sum{/a_n/} \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass die Normen nicht äquivalent sind. b) Zeigen Sie, dass die beiden normierten Vektorräume nicht vollständig sind. (Die / müssen als senkrechte Striche gesehen werden (wie macht man die?)) Bei der a) konnte ich beweisen, dass die zwei Normen äquivalent sind, allerdings habe ich nicht berücksichtigt, dass der Raum unendlich-dimensional ist. Wie mache ich das? Bei der b) komme ich darauf, dass die Vektorräume vollständig sind: Die beiden Vektorräume sind vollständig => jede Cauchy-Folge muss konvergent sein. Jede Folge im IR ^ IN ist eine Cauchyfolge, denn wenn man die Folge erst am dem n-ten Glied betrachtet, so ist der Abstand zweier Glieder Null (weil die einzelnen Glieder ja auch Null sind) und somit kleiner als Epsilon. Das heißt, es reicht sich irgendeine Folge in dem Raum anzusehen. Jede Folge in dem Raum konvergiert gegen Null, wenn n gegen unendlich geht. Also ist jeder Cauchy-Folge konvergent und der Vektorraum vollständig. Wo liegt mein Fehler? Vielen Dank
04.05.2012, 19:33	hahannes	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Aufgabe noch als Dateianhang gespeichter, in der Hoffnung, dass man sie so besser lesen/verstehen kann.
04.05.2012, 20:03	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst: $\begin{eqnarray} \| \end{eqnarray}$ ... ALT-GR+ '<' und $\begin{eqnarray} \\| \cdot \\|_1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \\| \cdot \\|_\infty \end{eqnarray}$ fahr mit der Maus drauf ohne zu klicken ... (a) Die Normen $\begin{eqnarray} f:V \to \mathbb R_0^+ \end{eqnarray}$ sind Funktionen, weil max und $\begin{eqnarray} \sum \end{eqnarray}$ über endlich viele Elte. gebildet werden. Da juckt die Dim nicht, sondern die Wohldef.heit der Funktion. Für $\begin{eqnarray} \\| x \\|_\infty \leq \lambda\,\\| x \\|_1 \end{eqnarray}$ nehme $\begin{eqnarray} x=a_n=(1,1,1,..,1,0,0,0,\ldots) \end{eqnarray}$ (mit n 1-en) und stelle fest, ..., für kein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ erfüllbar. (b) Definiere die Folge $\begin{eqnarray} (x_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ per $\begin{eqnarray} x_k:=a_n:=(1,\tfrac{1}{2},\ldots, \underbrace{\tfrac{1}{k}}_{k-te~Stelle}0, \ldots) \end{eqnarray}$ Beachte: $\begin{eqnarray} x_k \in V:=\mathbb R^{\mathbb N}\quad \forall k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \\|x_m - x_n \\|_\infty = \frac{1}{n+1} < \varepsilon \end{eqnarray}$ für geeignetes $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} m > n_0 \end{eqnarray}$ Allerdings ist $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} x_k \not\in V \end{eqnarray}$ ... HTH __________________ Edit + Zusatz ... Ein Element aus $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^{\mathbb N} \end{eqnarray}$ ist die übliche 'reelle Folge'. Bzgl. der Vollständigkeit betrachtet man eine Folge dieser Elte., vorzustellen als n-te Zeilen $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ einer Matrix ...
06.05.2012, 09:00	hahannes	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) "Für $\begin{eqnarray} \\| x \\|_\infty \leq \lambda\,\\| x \\|_1 \end{eqnarray}$ nehme $\begin{eqnarray} x=a_n=(1,1,1,..,1,0,0,0,\ldots) \end{eqnarray}$ (mit n 1-en) und stelle fest, ..., für kein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ erfüllbar." Warum? Ich habe doch dann für $\begin{eqnarray} \\| x \\|_\infty \\ \end{eqnarray}$ =1 und für $\begin{eqnarray} \ \\| x \\|_1 \end{eqnarray}$ =1n (weil ich die 1 ja n-mal habe). Wenn ich jetzt für $\begin{eqnarray} \lambda\ \end{eqnarray}$ eine Zahl wähle, die größer als n ist, so ist die Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda}\\| x \\|_1 \leq \\| x \\|_\infty \leq \lambda\,\\| x \\|_1 \end{eqnarray}$ erfüllt, oder nicht? (b) Vielen Dank!
06.05.2012, 13:41	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) Weil es für JEDE Folge gelten muss. Und egal wie gross Du $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ wählst, mit irgendeiner (aber endlichen) Anzahl 1-en komme ich über diese Schranke.
06.05.2012, 14:10	hahannes	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »