Integration der Ableitung stückweise glatter Funktionen

04.05.2012, 19:15	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration der Ableitung stückweise glatter Funktionen Also, habe hier mal wieder ein Problem und hoffe auf eure Mithilfe, habe auch eine Beweisidee durchgespielt, d.h. wenn's super läuft, genügt für den ersten Teil schon ein kleinerer Hinweis Problem: Wir haben eine stetige, stückweise glatte Funktion f: [a,b]->C (kompl. Z.), d.h. es ex. eine Zerlegung $\begin{eqnarray} a = x_0 < ... <x_n = b \end{eqnarray}$ , , so dass für alle k = 1..n die Funktion f jeweils auf den offenen Teilintervallen $\begin{eqnarray} (x_{k-1}, x_k) \end{eqnarray}$ zu einer stetig differenzierbaren Funktion auf $\begin{eqnarray} [x_{k-1},x_k] \end{eqnarray}$ fortgesetzt werden kann. Dann soll ich nun beweisen: (a) $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f'(x) \, dx = f(b) - f(a) \end{eqnarray}$ [d.h. der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für f'(x)] (b) Sei nun auch g stückweise glatt und stetig, zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x)g'(x) \, dx = fg\|_{a}^{b} - \int_a^b \! f'(x)g(x) \, dx \end{eqnarray}$ [Partielle Integration für f, g stückweise glatt, stetig] ______________________________ Lösungsvorschlag: (a) Wir hatten in der Vorlesung den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eben für eine stetige zu integrierende Funktion gezeigt, d.h. nicht für reine Regelfunktionen unter bestimmten Bedingungen. Über das zu integrierende f'(x) weiß ich aber ja allerdings, dass es eine Regelfunktion ist, d.h. in jedem Punkt links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren, oder nicht? Meine Begründung hierfür wäre die, dass f ja auf jedem abgeschlossenen Teilintervall der Partition zu einer stetig differenzierbaren Funktion fortsetzbar ist, d.h. die Ableitung dieser fortgesetzten Funktionen auf diesen Intervallen stetig ist, wodurch dann überall links- und rechtsseitiger Grenzwert der Ableitung existieren. Allerdings muss f' ja in den x_k-Stellen nicht stetig sein, auch, wenn auch in diesen Stellen links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren. Da f' eine Regelfunktion ist, kann ich das Integral aufteilen (haben wir mal bewiesen) mit derselben Partition, die die Aufgabe für f vorgibt: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f'(x) \, dx = \sum\limits_{k=1}^n \int_{x_{k-1}}^{x_k} \! f'(x) \, dx \end{eqnarray}$ Mir ist dann leider aufgefallen, dass ich in diesen Teilbereichen noch immer nicht integrieren kann durch Bildung der Stammfunktion, da f' in $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_{k-1} \end{eqnarray}$ noch immer unstetig sein kann, sonst könnte ich nun die Stammfunktion bilden, hätte eine Teleskopsumme und f(a) und f(b) würden übrig bleiben und ich wäre fertig - nur, wie kann ich dahin kommen? (b) Hier muss ich ja sicher (a) verwenden, oder? Dafür müsste ich dann erstmal (a) beweisen... Wie könnte ich das ggfs. mit (a) bewerkstelligen? Vielen, vielen Dank für eure Hilfe

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