DGL Vorzeichenproblem

04.05.2012, 20:11	rox	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Vorzeichenproblem Bei der folgenden DGL haben ich ein Problem mit dem Vorzeichen der Konstante: $\begin{eqnarray} y'+y=x^{2}+1 \end{eqnarray}$ Gelöst habe ich das Ganze wie folgt: $\begin{eqnarray} y'=x^{2}-y+1 \end{eqnarray}$ Sub: $\begin{eqnarray} u(x)=x^{2}-y+1 , y'=2x-u'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x-u'(x)=u(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{du(x)}{dx}+u(x)=2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{x} \frac{du(x)}{dx} +e^{x}u(x) =2e^{x} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{x} \frac{du(x)}{dx} +\frac{de^{x} }{dx} u(x) =2e^{x} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(e^{x} u(x))=2e^{x} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{d}{dx}(e^{x} u(x)) \, dx =2\int \! e^{x} x \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{x} u(x)=2e^{x} (x-1)+C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x)=2x-2+e^{-x}C \end{eqnarray}$ Resub: $\begin{eqnarray} x^{2}-y+1=2x-2+e^{-x}C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=x^{2}-2x+3-e^{-x}C \end{eqnarray}$ Das Problem liegt jetzt beim Vorzeichen der Konstante, laut Wolframalpha müsste dort ein $\begin{eqnarray} +e^{-x}C \end{eqnarray}$ stehen. Da aber alle anderen Vorzeichen richtig, weiß ich nicht wo mein Fehler ist. Für eine kleine Hilfe wäre ich sehr dankbar. gruß rox
04.05.2012, 20:33	-ItsMe-	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL Vorzeichenproblem $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ ist ja eine unbekannte Konstante Es hat keinen Sinn, vor eine Konstante, von der man sowieso nicht weiß, ob sie negativ oder positiv sein würde, ein negatives Vorzeichen zu stellen. Konstanten werden meist immer mit $\begin{eqnarray} "+" \end{eqnarray}$ als Vorzeichen angegeben. Grundsätzlich aber völlig egal.
04.05.2012, 21:06	rox	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowas in die Richtung habe ich mir schon gedacht. Heißt also wenn ich einen Term habe und zB mit (-1) multipliziere würde das +C einfach bestehen bleiben? gruß rox
05.05.2012, 21:29	-ItsMe-	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Aber auch, wenn man zwei oder mehr Konstanten $\begin{eqnarray} c_1,c_2,c_3,...,c_n \end{eqnarray}$ addiert, multipliziert, oder sonst was damit macht, werden sie zu einer einzigen Konstanten $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ .
05.05.2012, 21:54	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich möchte auch mal an was Elementares erinnern: die Binomische Formel $\begin{eqnarray} (a+b)^2 \end{eqnarray}$ gilt für $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Trotzdem gibt es 2 Formeln. Eigentlich unnötig! Fazit: steht ein Minus vor einem Parameter, kann man davon ausgehen, dass er positiv ist.

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