Vektoren in R2 und R3 die 45 Grad Winkel einschließen.

04.05.2012, 21:43	Count of Beep	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren in R2 und R3 die 45 Grad Winkel einschließen. Meine Frage: a) Gib alle Vektoren in R2 an, die mit dem Vektor (2\|3) einen Winkel von 45° einschließen. b) Gib alle Vektoren in R3 an, die auf die Vektoren (1\|1\|1) und (2\|0\|-3) normal stehen. Berechne diese Vektoren auf zwei Arten, einmal mit dem Skalarprodukt und einmal mit dem Vektorprodukt. c) Ermittle den Flächeninhalt des von den Vektoren (1\|0\|0) und (x\|y\|z) aufgespannten Parallelogramms auf zwei Arten, einmal mit dem Skalarprodukt und einmal mit dem Vektorprodukt. Von welchen der drei Variablen x,y,z hängt dieser Flächeninhalt nur ab. Meine Ideen: a) Ich hätte das mit 2 Normalvektoren zu (2\|3) gelöst und damit die Parallelogrammregel angewandt. Ich bekomme so auch ein Resultat, allerdings stimmt das nicht mit dem im Lösungsheft überein. (5t/2\|t/2) + (-t/2\|5t/2) Ein Rechteck ist doch ein besonderes Parallelogramm oder? b) Da habe ich leider garkeinen Ansatz, ebenso wie zu c. Bitte um Hilfe!!!! Vielen Dank!
04.05.2012, 23:49	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in R2 und R3 die 45 Grad Winkel einschließen. (a) Idee ist ok. ... Zu $\begin{eqnarray} \binom{2}{3} \end{eqnarray}$ sehe(!) zwei Normale $\begin{eqnarray} n_1=\binom{-3}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_2\binom{3}{-2} \end{eqnarray}$ mit Beträgen $\begin{eqnarray} \|a\|=\|n_1\|=\|n_2\|=\sqrt{13} \end{eqnarray}$ Die beiden $\begin{eqnarray} v=~\frac{1}{2}\,\left(\frac{a}{\|a\|}+\frac{n}{\|n\|}\right) \end{eqnarray}$ lösen die 45°. Warum? - Weil ich $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ erst normiert und dann die Mitte genommen habe ... Prüfst Du, mit ... $\begin{eqnarray} a\cdot v=\|a\|\|v\|\,\cos\angle(a,v) \end{eqnarray}$ hurra bei $\begin{eqnarray} \cos\angle(a,v) = \frac{1}{2}\sqrt{2} \iff \angle(a,v) = 45^\circ \end{eqnarray}$ (b) Für $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2,x_3)^T \end{eqnarray}$ muss gelten: $\begin{eqnarray} a\cdot x=b\cdot x=0 \end{eqnarray}$ Das ist ein GleichSystem mit $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ als Unbekannten obendrüber ... also löst Du ... $\begin{eqnarray} \begin{array}{rrr\|r}x_1 & x_2 & x_3 \\ \hline 1 &1 &1 & 0\\ 2 &0 &-3 & 0\\ \end{array} \end{eqnarray}$ und findest $\begin{eqnarray} (3,-5,2)^T \end{eqnarray}$ heraus. Google nach Vektorprod. - Ergebnis ist bis auf Lände und Vorzeichen gleich. Geht das ?

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