Partialbruchzerlegung

04.05.2012, 23:01

Matze1991

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Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich soll $\begin{eqnarray*} 1/{((x-1)(x+1)^2)} \end{eqnarray*}$ integrieren ...

Meine Ideen:
Klar, partialbruchzerlegung, meine frage:

hat die Funktion eine doppelte nullstelle bei -1 ? Und ich bin mir nicht so sicher, wie ich jetzt weitermachen muss ... ich hoffe es kann mir jemand helfen ...

04.05.2012, 23:13

Mystic

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RE: Partialbruchzerlegung
Ja, -1 ist doppelte Nullstelle der Funktion, das braucht dich aber nicht zu tangieren... Ich würde dir empfehlen, einfach (x+1)² mit der 1.Binomischen Formel zu berechnen und dann die Polynomdivision durch (x-1) durchzuführen... Danach sollte das Integral leicht zu berechnen sein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2012, 23:18

Matze1991

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RE: Partialbruchzerlegung
whaaat !? Big Laugh

Big Laugh

ich wäre jetzt irgendwie so vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A0}{x-1} +\frac{A1}{(x+1)^1} +\frac{A2}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

04.05.2012, 23:24

Mystic

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RE: Partialbruchzerlegung
Häh, warum redest du jetzt plötzlich von einer ganz anderen Aufgabe? geschockt

geschockt

Der Faktor (x+1)² war doch vorher eindeutig im Zähler, und nun ist er plötzlich im Nenner??? Auch hast du von der doppelten Nullstelle -1 gesprochen, nun ist aber -1 plötzlich überhaupt keine Nullstelle mehr... Also ich bin hier total überfordert... unglücklich

unglücklich

Wer will soll übernehmen, ich verabschiede mich in diesem Thread... geschockt

geschockt

Edit: Hier noch das corpus delicti, bevor es möglicherweise wegeditiert wird:

Zitat:

Original von Matze1991
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich soll $\begin{eqnarray*} 1/{(x-1)(x+1)^2} \end{eqnarray*}$ integrieren ...

Meine Ideen:
Klar, partialbruchzerlegung, meine frage:

hat die Funktion eine doppelte nullstelle bei -1 ? Und ich bin mir nicht so sicher, wie ich jetzt weitermachen muss ... ich hoffe es kann mir jemand helfen ...

04.05.2012, 23:29

Matze1991

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RE: Partialbruchzerlegung
ja hab die klammer vergessen

04.05.2012, 23:52

Equester

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Ja, ist soweit richtig. Verfolge deinen Ansatz weiter smile

smile

.

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05.05.2012, 10:16

Matze1991

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Das Ding ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Koeffizienten vergleichen soll, weil im Zähler ja kein "x" vorkommt ...

05.05.2012, 10:21

Mulder

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Zitat:

Original von Matze1991
Das Ding ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Koeffizienten vergleichen soll, weil im Zähler ja kein "x" vorkommt ...

Das ist doch kein Problem... ?

Bring die drei Brüche auf einen Nenner und setze den Zähler des daraus entstehenden Bruches gleich 1 und bestimme die Koeffizienten dann passend.

05.05.2012, 10:39

Matze1991

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Ja da weiß ich nicht, wie ich das machen muss :/
ich habe nun:
$\begin{eqnarray*} \frac{A_{1}(x+1)(x-1)+A_{2}(x-1)+B(x+1)^2 }{(x-1)(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

Und nun soll ich den Zähler gleich 1 setzen ?

05.05.2012, 10:46

Mulder

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Also hast du noch nie eine PBZ gemacht?

Du kannst das doch jetzt ausmultiplizieren und umsortieren, so dass du etwas von der Form (D)*x^2 + (E)*x + (F) erhälst. Und nun müssen deine Koeffizienten eben so sein, dass da sowas wie 0*x^2 + 0*x +1 rauskommst, denn das hattest du ja von Anfang an. Diese Nuller kannst du dir ja dazudenken.

$\begin{eqnarray*} \frac{0\cdot x^2 + 0 \cdot x + 1}{(x-1)(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 11:06

Matze1991

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Ne habe ich nicht, war leider krank.
Also wenn ich nun ausmultipliziere und gleich 1 setze komme ich auf folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} x^2(A_{1}+B )+x(A_{2}+2B )-A_{1}-A_{2}+2B = 1 \end{eqnarray*}$

und wie du schon meintest kann man doch nun sagen, dass A1+B=0; A2+2b=0; -A1-A2+2B=1, oder ?
oder mache ich das falsch unglücklich

unglücklich

?

05.05.2012, 12:00

Mystic

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Zitat:

Original von Matze1991
Ne habe ich nicht, war leider krank.
Also wenn ich nun ausmultipliziere und gleich 1 setze komme ich auf folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} x^2(A_{1}+B )+x(A_{2}+2B )-A_{1}-A_{2}+2B = 1 \end{eqnarray*}$

und wie du schon meintest kann man doch nun sagen, dass A1+B=0; A2+2b=0; -A1-A2+2B=1, oder ?
oder mache ich das falsch unglücklich

unglücklich

?

Sorry, dass ich oben die Nerven weggeschmissen habe, es wird nicht mehr vorkommen, versprochen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es macht mir auch gar nichts mehr aus, dass du von der Darstellung

Zitat:

Original von Matze1991
ich wäre jetzt irgendwie so vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A0}{x-1} +\frac{A1}{(x+1)^1} +\frac{A2}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

plötzlich übergehst zu

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A1}{x+1} +\frac{A2}{(x+1)^2} +\frac{B}{x-1} \end{eqnarray*}$

denn wie man die Größen bezeichnet, ist ja im Grunde egal und wenn einem zwischendurch eine bessere Bezeichnung einfällt, sollte man natürlich davon auch Gebrauch machen... Freude

Freude

Auch die falsche Anwendung der binomischen Formel

$\begin{eqnarray*} (x+1)^2=x^2+2x+2 \end{eqnarray*}$

war jetzt sicher nur ein Tippfehler und nicht weiter tragisch... Immerhin solltest du aber das 2B zu B in den letzten Gleichungen ausbessern, bevor du weitermachst, denn sonst bringst du dich um den Lohn deiner Bemühungen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2012, 15:57

Matze1991

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Jo, nun komme ich auf, B=1/4, A1=-1/4 und A2=-2/4=-1/2

05.05.2012, 16:26

Equester

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Da die anderen beiden weg sind.

Ja, das ist richtig Freude

Freude

.

05.05.2012, 16:35

Matze1991

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Jo habs jetzt auch raus, danke für die großartige Hilfe smile

smile

05.05.2012, 16:36

Equester

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Ich sags auch mal für die beiden anderen:

Gerne smile

smile

,

Wink

1

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