unendliche Variation der Brownschen Bewegung

04.05.2012, 23:20

mathelucy

unendliche Variation der Brownschen Bewegung

Meine Frage:
Es sei zu zeigen, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 keiner der Pfade der Pfade der Brownsche Bewegung $\begin{eqnarray*} (B_t)_{t\geq0} \end{eqnarray*}$ auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \subset R_+ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ monoton ist.

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, dass ich dies über die Variation
$\begin{eqnarray*} V_a^b f = sup \lbrace \sum\limits_{i=0}^{n-1} |f(t_{k+1}^{(n)}) - f(t_{k}^{(n)})| : n \in \mathbb N, \ a = t_0^{(n)} \leq t_1^{(n)} \leq ... \leq t_n^{(n)} = b \rbrace \end{eqnarray*}$
beweisen könnte.
Denn wie man leicht zeigen kann, hat eine stetige monotone Funktion auf beschriebenem (endlichen) Intervall die endliche Variation $\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir nun zeigen, dass die BB von unendlicher Variation ist und zwar für jedes beliebige Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \subset \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ , so ist auch die fast sichere Monotonie widerlegt.

Ist das so korrekt oder gibt es da einen Denkfehler?

05.05.2012, 00:01

speedyschmidt

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RE: unendliche Variation der Brownschen Bewegung
Freude