Extremwertaufgabe Sportplatz

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05.05.2012, 10:01	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Sportplatz Meine Frage: Hallo. Ich hab eine Aufgabenstellung, wo ich ein bisschen anstehe Die Angabe: Ein Sportplatz besteht aus einem Rechteck, wobei an die Breiten jeweils ein Halbkreis angesetzt ist. Der Sportplatz ist so zu dimensionieren, dass bei gegebener Laufstrecke von 400m die rechteckige Fläche des Platzes maximal wird. a) Wie sind die Abmessungen des Rechtecks? Wie groß ist die Fläche? b) Wie groß ist die gesamte Fläche des Platzes? Wie viel Prozent der Gesamtfläche entfallen auf das Rechteck? c) Berechne das Seitenverhältnis des Rechtecks. Lösungen: L:100m; 31,83m; 6366m²; 9549m²; 66,667%; 2pi : 1 Meine Ideen: Was ich bisher habe: HB: A = x * 2r -> Max NB: 400 = 2x + 2rpi 400 - 2rpi = 2x x = 200 - rpi ZF: A(r) = (200 - rpi) * 2r = 400r - 2r²pi A'(r) = 400 - 4rpi A''(r) = -4pi < 0 -> Max A'(r) = 0 400 - 4rpi = 0 4rpi = 400 rpi = 100 r = 100/pi = 31,83m Dann kommt mein Problem, ich soll die Fläche des Rechtecks ausrechnen, dafür lautet die Formel doch A = ab Dies wiederrum würde bedeuten, ich müsste 100 31,83 rechnen, dann würde aber 3183 herauskommen und es muss genau das doppelte rauskommen. Wenn ich bei b) dann weitermache, rechne ich den Flächeninhalt vom Kreis aus (Akreis = r²pi = 31,83²pi = 3183m) plus dem Flächeninhalt des Rechtecks. Also 3183 + 6366 = 9549 und der prozentuelle Anteil: 6366/9549 100 = 66,6667% Das würde dann ja wieder stimmen. Also ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei dem Flächeninhalt des Rechtecks helfen kann, also warum ich das mal 2 rechnen muss und mir jemand sagen kann, wie c geht danke im voraus
05.05.2012, 10:18	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die "korrekte" Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks benutzen, diese hast du ganz am Anfang der Aufgabe aufgestellt. HB: A = x * 2r -> Max r ist ja nur der Radius, die eine Seite des Rechtecks entspricht aber dem Durchmesser, also dem doppelten Radius.
05.05.2012, 10:23	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
achso..klingt logisch ich danke schon mal dafür. Hast du auch einen Lösungsvorschlag für c)? ^^
05.05.2012, 10:27	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie berechnet man denn das Seitenverhältnis? Du hast im Prinzip schon alles ausgerechnet, musst es jetzt nur noch zusammensetzen.
05.05.2012, 10:34	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe grade keine Ahnung...
05.05.2012, 11:31	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm..ich habe eine idee..bin mir aber dessen überhaupt nicht sicher.. wenn ich jetzt 2 Gleichungssysteme aufstelle und es somit dann ausrechne.. also.. Gl I: 6366 = x2r Gl II: x = 2r dann wäre folgendes: 2r 2r = 6366 4r² = 6366 r² = 1591,5 ..aber das stimmt ja iwie auch nicht...
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05.05.2012, 16:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was haben die beiden Gleichungen denn mit dem Seitenverhältnis zu tun? Und warum sollte x=2r sein? Wie habt ihr bzw. wie ist das Seitenverhältnis eines Rechtecks denn definiert?
05.05.2012, 21:14	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kann mich nicht erinnern, je ein seitenverhältnis definiert zu haben..
06.05.2012, 00:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr werdet doch bestimmt aufgeschrieben habe, was ihr unter dem Seitenverhältnis eines Rechtecks versteht. Ansonsten kann man das auch z.B. bei Wikipedia nachschlagen.
06.05.2012, 09:58	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß, was man unter einem seitenverhältnis versteht und ich habe es auch schon berechnet.. ..aber hier kann ich machen, was ich will, ich komme nicht auf 2pi : 1. außer eins kann ich, dass ich darauf komme..und zwar es richtig zu machen..aber das klappt bei mir grade iwie nicht so..
06.05.2012, 10:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo hast du die Lösung denn her? Auf ein Verhältnis von 2pi : 1 komme ich auch nicht...
06.05.2012, 10:56	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
die lösung steht dabei.. es ist aber nie so sicher, ob die lösungen stimmen.. ..auf was kommst du denn?
06.05.2012, 11:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt mehrfach nachgerechnet und noch bei einer anderen Helferin gefragt, wir kommen beide nicht auf ein Verhältnis von $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ sondern auf $\begin{eqnarray} \frac \pi 2 \end{eqnarray}$ . Dann ist die angegebene Lösung vermutlich falsch.
06.05.2012, 13:42	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
glaub ich sofort.. wärst du so lieb und würdest du mir sagen, wie du darauf kommst?
06.05.2012, 13:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie sonst auch, das Seitenverhältnis eines Rechtecks ist der Quotient aus der Länge des Rechtecks sowie der Breite des Rechtecks. Beides hast du berechnet, dann ist das jetzt nur noch einsetzen und ausrechnen.
06.05.2012, 14:16	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
also 100 : 31,83 = 3,1417
06.05.2012, 14:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du vergisst wieder, dass die Breite des Sportplatzes der doppelte Radius ist. Außerdem würde ich hier mit den exakten Werten und nicht mit den Rundungen rechnen.
06.05.2012, 14:40	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
warum ist die breite eig. der doppelte radius? ich weiß zwar, dass es ein kreis ist, aber man nimmt ja auch nicht die doppelte länge..
06.05.2012, 14:54	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dir doch bestimmt eine Skizze gemacht, oder? Das Rechteck besteht aus dem geraden Teil der Laufbahn sowie dem Durchmesser der Halbkreise, also jeweils dem doppelten Radius.
06.05.2012, 16:08	Mahi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, natürlich hab ich mir eine skizze gemacht.. deshalb besteht es ja aus einem ganzen kreis (zwei halbkreise) und warum nimmt man aber nur eine länge und nicht beide?
06.05.2012, 16:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir nicht ganz folgen. Die Seiten des Rechtecks bestehen aus: - der geraden Laufbahn - dem Durchmesser der Halbkreise Da der Durchmesser eines Kreise gerade der doppelte Radius ist, ist die Höhe des Rechtecks also der doppelte Radius.

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