Irrationale Zahlen im offenen Intervall.

05.05.2012, 12:21

ITDood

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Irrationale Zahlen im offenen Intervall.

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} I = \left(a,b\right) \end{eqnarray*}$ ein offenes Intervall und $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} x \in I \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
E gilt $\begin{eqnarray*} a<\frac{a+b}{2}<b \end{eqnarray*}$ , da:
$\begin{eqnarray*} a<b\Rightarrow a+a<a+b= 2a<a+b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a<b\Rightarrow a+b<b+b= a+b<2b\Rightarrow \frac{a+b}{2}<b \end{eqnarray*}$ .

Meine Idee ist es, eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass $\begin{eqnarray*} an+bn \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (Brucherweiterung). Damit wäre ja die Definition einer irrationalen Zahl erfüllt und eine Lösung gefunden. Nur beschleicht mich langsam der Verdacht, dass es kein solches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt. Wie soll ich sonst an diese Aufgabe rangehen? Gibt es doch so ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?

05.05.2012, 12:25

IfindU

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RE: Irrationale Zahlen im offenen Intervall.
Du hast recht. Das kann nicht funktionieren, weil die Mitte genauso irrational sein kann wie bei beide Endpunkte.

Was du versuchen solltest, ist eine "kleine", positive rationale Zahl zu konstrieren. So klein, dass wenn du sie um a nach rechts verschiebst, sie noch kleiner als b ist.

05.05.2012, 12:29

ITDood

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Ich habe Begriffe durcheinandergehauen. Natürlich soll $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Element der irrationalen Zahlen sein. Dadurch ändert sich oben einiges. Daher dann eher die Frage: Wie kann ich aus a und b eine irrationale Zahl konstruieren?

05.05.2012, 12:30

Mystic

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RE: Irrationale Zahlen im offenen Intervall.

Zitat:

Original von ITDood
Meine Idee ist es, eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass $\begin{eqnarray*} an+bn \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (Brucherweiterung). Damit wäre ja die Definition einer irrationalen Zahl erfüllt und eine Lösung gefunden. Nur beschleicht mich langsam der Verdacht, dass es kein solches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt. Wie soll ich sonst an diese Aufgabe rangehen? Gibt es doch so ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?

Du argumentierst die ganze Zeit so, als wäre a und b Brüche, also rationale Zahlen... Wäre das der Fall, so müsste man ja gar nichts zeigen, weil dann (a+b)/2 schon die Lösung wäre, wie du ja selbst im ersten Teil deiner Ausführungen gezeigt hast... Offenbar hast du aber nicht einmal diese verstanden... unglücklich

unglücklich

Ne, was man über a und b weiß ist, dass sie Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen sind und das genügt bei einer sauberen Argumentation auch...

Edit: Ok, übergebe damit an Ifindu, dessen Posting ich noch nicht gelesen hatte... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit2: Aha, wieder einmal ist alles anders, als ursprünglich angegeben... Man ist als Helfer dazu verdammt herauszufinden, wie die Angabe denn wirklich lauten könnte, und leider habe ich da diesmal total danebengeraten... unglücklich

unglücklich

05.05.2012, 12:38

IfindU

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RE: Irrationale Zahlen im offenen Intervall.
@ITDood
Kannst du noch einmal sauber die Aufgabenstellung suchen. Du scheinst irrational und rational ständig durcheinander zu werfen.

Mein Tipp funktioniert für a,b irrational und du suchst eine irrationale Zahl dadrin.

05.05.2012, 12:46

ITDood

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RE: Irrationale Zahlen im offenen Intervall.
Ja, ich habe auch noch mal nachgeguckt. In der Aufgabe geht es um eine irrationale Zahl x. Das ist natürlich etwas anderes, als ich oben als "Defintion irrationaler Zahlen" hingeschrieben hatte. Somit ist dein Vorschlag der Aufgabenstellung entsprechend und ich werd ihn erstmal ausprobieren. Danke soweit. smile

smile

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05.05.2012, 13:05

ITDood

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RE: Irrationale Zahlen im offenen Intervall.
*sigh*

Obige Fragestellung war richtig. Gesucht ist ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb N,\mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind, dann haut das mit obigen Umformungen natürlich hin. Nun geht es für mich darum, aus zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine Zahl $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ zu finden. Entschuldigung für die uneindeutige Fragestellung und den Selbstaussagenwiederruf. unglücklich

unglücklich

@IfindU
Ich suche also eine minimale Erweiterung, so dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht mehr irrational ist?

05.05.2012, 13:10

IfindU

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RE: Irrationale Zahlen im offenen Intervall.
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist und bleibt (wenigstens nach der Aufgabenstellung) irrational.

Man kann die Idee nun leicht modifizieren und man sucht/konstruiert immer noch eine kleine, positive rationale Zahl. Man kann sie dann mit Multiplikation von natürlichen Zahlen immer ein Stück weiter nach rechts verschieben, bis sie in deinem Intervall landet.

Edit: Nachtrag, ich bin in 10 Minuten erst einmal für eine Stunde weg. Wenn Mystic noch mitliest, um eine aktuelle Aufgabenstellung zu haben - kannst du einspringen, wenn der Threadsteller vorher wieder kommt?

Edit2: Man sucht keine minimale rationale Erweiterung von a. Erst einmal müsste man sich fragen, ob es sowas überhaupt gibt (tut es in diesem Fall nicht einmal! Die Argumentation kann man mit a und scheinbar minimaler Erweiterung von a wiederholen und bekommt eine rationale Zahl dazwischen).
Man such nur irgedeine Zahl im Intervall.

05.05.2012, 14:00

ITDood

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RE: Irrationale Zahlen im offenen Intervall.
D.h man könnte die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a<\frac{p}{q} <b \end{eqnarray*}$ aufstellen, mit $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb N.q \neq 0 \end{eqnarray*}$ und diese versuchen zu beweisen. in dem Fall wäre $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ die "kleine" positive reelle Zahl und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ der Faktor, von dem du gespochen hast, auch wenn dieser nicht unbedingt eine natürliche Zahl sein muss (Ist ja wegen Kommutativität der Multiplikation sowieso egal). Ist das so gemeint?

05.05.2012, 15:56

IfindU

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RE: Irrationale Zahlen im offenen Intervall.
(Ich gehe hier erst einmal mit a,b > 0 aus, andere Fälle sind entweder trivial oder lassen sich hierauf zurückführen)

Wir müssten erst einmal p und q so finden. Was ich mit "klein" meinte, war kleiner also b-a. D.h. Wir basteln uns eine rationale Zahl, die kleiner als der Abstand zwischen a und b ist. Wenn wir die dann mit Multiplikation nach rechts verschieben, landen wir irgendwann in dem Intervall (a,b), und haben unsere rationale Zahl.

Unser Problem hat sich also reduziert eine rationale Zahl in $\begin{eqnarray*} (0, b-a) \end{eqnarray*}$ zu finden. Das ist deutlich einfacher, da 0 eine rationale Zahl.

06.05.2012, 21:37

d1ff3r3nT

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Guten Tag

smile

ich bin mir nach den ganzen Änderungen jetzt nicht mehr ganz sicher, aber ich glaube ich habe die selbe Aufgabenstellung^^

Und zwar soll ich zeigen:

$\begin{eqnarray*} \exists x \in \mathbb Q . x \in I \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} I = (a,b) \end{eqnarray*}$

(mehr wurde nicht vorausgesetzt - also ist nicht sicher ob $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ rational sind oder irrational und ob sie $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ sind)

Ein Hinweis/Tipp zur Aufgabe wurde uns gegeben, nämlich: "Konstruieren Sie mithilfe der Gaussklammer eine rationale Zahl, die in I enthalten sein muss."

Ich komme trotz der vielen Hinweise und Tipps irgendwie nicht auf die Lösung.

Ich bin so weit, dass $\begin{eqnarray*} x=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ sein muss mit $\begin{eqnarray*} a \leq x \leq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ (nach der Definition der rationalen Zahlen).

nach dem letzten Post, ist die Idee eine Zahl $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ (beispielsweise) in $\begin{eqnarray*} (0,b-a) \end{eqnarray*}$ zu finden, welche ich mit einem Faktor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ (beispielsweise) multiplizieren muss, um im Ursprungsintervall zu landen. Wie komme ich auf diesen Faktor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ? Was hat es mit der Gaussklammer auf sich?

Irgendwie steh ich auf'm Schlauch smile

smile

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte

06.05.2012, 21:41

IfindU

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Jop, genau da kann man die Gaußklammer benutzen, um explizit das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass $\begin{eqnarray*} k \cdot v \in I \end{eqnarray*}$ gilt.

Wie lautet denn der Faktor mit dem man $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ multiplizieren muss, um genau auf a zu kommen?

06.05.2012, 21:49

d1ff3r3nT

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mit $\begin{eqnarray*} k=\frac{a}{v} \end{eqnarray*}$ müsste ich ja auf a kommen?

06.05.2012, 21:50

IfindU

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Genau, jetzt haben wir natürlich das Problem, dass wir ggfs. irrational sind und definitiv nicht im Intervall liegen. Jetzt kommen aber die Gaußklammern ins Spiel. D.h. wir können das gewählte k ein wenig größer machen, und wenn v nur klein genug gewählt ist, im Intervall landen.

06.05.2012, 21:55

d1ff3r3nT

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hmm... das mit den Gaußklammern hatte ich leider in der Vorlesung schon nicht ganz so richtig verstanden... wenn ich jetzt eine Gaußklammer um $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ setze (weiß nicht wie das in latex ausgedrückt wird - schreibe hier zum ersten Mal damit^^) wo die Haken oben sind, dann hätte ich damit die kleinste Zahl $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} >k \end{eqnarray*}$ ist, richtig?

06.05.2012, 21:58

IfindU

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Jop, genau. $\begin{eqnarray*} \lceil k \rceil \end{eqnarray*}$ ist also k aufgerundet (denke so kann man sichs besser vorstellen).

Was wissen wir also nun, über die (Ir)rationalität von $\begin{eqnarray*} v \lceil k \rceil \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2012, 22:04

d1ff3r3nT

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hmm..

also sicher ist, dass $\begin{eqnarray*} v \lceil k \rceil > a \end{eqnarray*}$

aber was das über die Rationalität aussagt...

edit:
damit wäre $\begin{eqnarray*} \lceil \frac{a}{v} \rceil \cdot v > a \end{eqnarray*}$

edit2:
damit müsste (da $\begin{eqnarray*} \lceil \frac{a}{v} \rceil \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ) , $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sein, damit das Ergebnis rational wird, oder?

06.05.2012, 22:22

IfindU

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Jop, wir haben also eine rationale Zahl gefunden, die größer als a ist. Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass sie kleiner als b ist, sind wir fertig.

Edit: Dazu vielleicht noch ein Tipp: Für alle reellen Zahlen gilt
$\begin{eqnarray*} \lceil x \rceil \leq x+1 \end{eqnarray*}$

06.05.2012, 22:39

d1ff3r3nT

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Hammer

unglücklich

irgendwie... keine ahnung... ich fasse nochmal zusammen.

wenn ich ein $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wähle und ich wähle ein $\begin{eqnarray*} k = \lceil \frac{a}{v} \rceil \end{eqnarray*}$ dann habe ich einen rationalen Wert, nämlich $\begin{eqnarray*} y = \lceil \frac{a}{v} \rceil \cdot v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \in Q \end{eqnarray*}$ gefunden, welcher größer ist als a.

Nun gilt zusätzlich, dass $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ . Ausserdem gilt $\begin{eqnarray*} k = \lceil \frac{a}{v} \rceil \leq \frac{a}{v}+1 \end{eqnarray*}$ .

Wie beweise ich jetzt, dass das kleiner ist als b?

06.05.2012, 22:41

IfindU

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Du willst gar nicht dass $\begin{eqnarray*} k < b \end{eqnarray*}$ . Du willst $\begin{eqnarray*} k\cdot v < b \end{eqnarray*}$ . Und das sollte recht fix gehen, wenn man $\begin{eqnarray*} v \in (0, b-a) \end{eqnarray*}$ im Kopf behält.
(Wir haben v extra so klein gewählt, damit das jetzt aufgeht.)

06.05.2012, 22:55

d1ff3r3nT

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aaaah jetzt hab ichs Big Laugh

Big Laugh

oh man... ich glaub ich mach nie wieder so spät mathe-aufgaben Big Laugh

Big Laugh

auf jeden Fall vielen Dank!
die Lösung sollte ich hier nicht posten, oder?

06.05.2012, 22:58

IfindU

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Ich weiß nicht wirklich wie interessiert ITDood noch an der Aufgabe ist. Ich würde vorschlagen du schreibst sie für die Nachwelt hier auf.

Allerdings noch eine Warnung. Ich hab (wie ich vorher mal geschrieben habe), $\begin{eqnarray*} b > a \geq 0 \end{eqnarray*}$ angenommen, weil $\begin{eqnarray*} a < 0 , b \geq 0 \end{eqnarray*}$ trivial ist (warum?), und der Fall $\begin{eqnarray*} a < b < 0 \end{eqnarray*}$ praktisch genauso behandelt wird. Man kann es in einem Rutsch machen, dann kommen an spezielle Stellen Beträge, Fallunterscheidungen usw., aber ich wollte erst einmal die Idee klären, damit kann man auch den Fall selbst erledigen.

06.05.2012, 23:07

d1ff3r3nT

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ok stimmt. den Fall werde ich dann nochmal gesondert berücksichtigen.

also zur Lösung:

$\begin{eqnarray*} x = k \cdot v = \lceil \frac{a}{v} \rceil \cdot v \leq (\frac{a}{v} + 1) \cdot v = a+v \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \in (0,b-a) \Rightarrow a+v \leq b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \leq x \leq b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists x \in \mathbb Q.x \in I=(a,b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q.e.d \end{eqnarray*}$

06.05.2012, 23:10

IfindU

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Du müsstest etwas stärker folgern, nämlich $\begin{eqnarray*} a < x < b \end{eqnarray*}$ , die Gleichheit also ausschließen, weil wir eine rationale Zahl im Inneren haben wollten.

Sonst Freude

Freude

Edit: Im Nachhinein müsste man sogar noch ausschließen, dass $\begin{eqnarray*} \frac a v \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl ist, denn sonst haben wir ggfs. auch Gleichheit. Also so nervige Kleinigkeiten, um die man sich aber auch noch kümmern muss....

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