zusätzlicher Beweis bei totaler Ordnung?

05.05.2012, 12:35

Hilfloser4

zusätzlicher Beweis bei totaler Ordnung?

Meine Frage:
Hey, ich habe eine Aufgabe, bei der ich zeigen sollte, dass die Relation eine totale Ordnung auf M x M ist.

Meine Ideen:
Das habe ich auch gemacht, indem ich gezeigt habe das reflexivität, antisymmetrie und transitivität gelten. Nun habe ich aber bei jemand anderem auch noch folgendes gesehen:
die totale ordnung gilt ja nur wenn $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M: $\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b \leq a \end{eqnarray*}$

jetzt wurde eine fallunterscheidung gemacht bzgl: $\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b \leq a \end{eqnarray*}$
, nur sehe ich den sinn dahinter nicht. Meine eigentliche Frage also: reicht es zu zeigen, dass die totale ordnung besteht, wenn reflexiv, antisymmetrisch und transitiv? Oder muss ich mehr zeigen?

Danke schonmal

05.05.2012, 12:43

Mystic

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RE: zusätzlicher Beweis bei totaler Ordnung?

Zitat:

Original von Hilfloser4
Meine Frage:
Hey, ich habe eine Aufgabe, bei der ich zeigen sollte, dass die Relation eine totale Ordnung auf M x M ist.

Meine Ideen:
Das habe ich auch gemacht, indem ich gezeigt habe das reflexivität, antisymmetrie und transitivität gelten. Nun habe ich aber bei jemand anderem auch noch folgendes gesehen:
die totale ordnung gilt ja nur wenn $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M: $\begin{eqnarray*} a\b\veeb\a \end{eqnarray*}$

jetzt wurde eine fallunterscheidung gemacht, nur sehe ich den sinn dahinter nicht. Meine eigentliche Frage also: reicht es zu zeigen, dass die totale ordnung besteht, wenn reflexiv, antisymmetrisch und transitiv? Oder muss ich mehr zeigen?

Danke schonmal

Was für eine Frage: Ja natürlich musst mehr zeigen, und was "mehr", hast du ja auch selber schon gesagt:

$\begin{eqnarray*} \forall a,b \in M: a \le b \lor b \le a \end{eqnarray*}$

wobei ich jetzt nur deine Relation auf $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ "umbenannt" habe...

Edit: Ok, die "Umbenennung" hast du inzwischen ja schon selbst vorgenommen...

05.05.2012, 14:58

Hilfloser4

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RE: zusätzlicher Beweis bei totaler Ordnung?
ok hieße das dann folgendermaßen:
( ich hab übrigens statt "a" und "b" Tupel also (a,b) für a und (c,d) für b )

zu zeigen: (a,b) R (c,d) oder (c,d) R (a,b) ( dabei ist R meine relation )
[ Grundrelation: (a,b) R (c,d): $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ( a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c ) und ( a = c $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ b $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ d ) ]

Fall 1: a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c ; a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ c
( a,b) R (c,d): $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ( a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c ) und ( a = c $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ b $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ d )

Fall 2: c $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ a ; c $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ a
( c,d) R (a,b): $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ( c $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ a ) und ( c = a $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ d $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b )

Fall 3: c = a
Fall 3.1: b $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ d
Fall 3.2: d $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b

05.05.2012, 19:14

Mystic

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RE: zusätzlicher Beweis bei totaler Ordnung?
Ein paar Bemerkungen zu deinen Ausführungen:

1. Statt $\begin{eqnarray*} a \le c \land a \ne c \end{eqnarray*}$ schreibt man in der Mathematik a<c... Falls du das wirklich noch nie gesehen hast, dann bitte fest einprägen, das macht alles gleich viel lesbarer...

2. Deine Fälle sollten aus einer Schlußkette bestehen, wo am Ende entweder (a,b) R (c,d) oder (c,d) R (a,b) steht... Das sehe ich ich Moment noch nicht...

3. Die Fälle 3.1 und 3.2 schließen sich nicht gegenseitig aus, sollten sie aber...

05.05.2012, 20:50

Hilfloser4

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RE: zusätzlicher Beweis bei totaler Ordnung?
ok danke dir für die anmerkungen ich werde mich nochmal dran setzen smile

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