Bilinearform und Radikal

05.05.2012, 13:02

MungDal

Bilinearform und Radikal

Hallo liebe Forumsgemeinde,

für mein Physikstudium, habe ich folgenden Matheaufgabe zu lösen, die mir gerade etwas Schwierigkeiten bereitet.

< . , .> sei eine symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum S. Zeigen sie, dass die Menge $\begin{eqnarray*} R:=\left\{\vec{v} \in S | <\vec{v} , \vec{x}> = 0 \forall \vec{x} \in S \right\} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von S ist (Man nennt ihn das Radikal der Bilinearform.

Aber nun bin ich sehr verwirrt.

$\begin{eqnarray*} <\vec{v} , \vec{x} >= 0 \end{eqnarray*}$ würde ja entweder bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} \vec{v}=0 \end{eqnarray*}$ ist, oder dass $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ orthogonal zu jedem Vektor in S ist.
Ersteres ist ja wohl eher trivial und Zweiteres hört sich nach Unsinn an.

Ich kann gerade überhaupt nichts damit anfangen. Kann mir vielleicht jemand einen aufhellenden Hinweis geben? verwirrt

Schönen Samstag
MungDal

05.05.2012, 14:00

DP1996

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RE: Bilinearform und Radikal

Zitat:

Original von MungDal
$\begin{eqnarray*} <\vec{v} , \vec{x} >= 0 \end{eqnarray*}$ würde ja entweder bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} \vec{v}=0 \end{eqnarray*}$ ist, oder dass $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ orthogonal zu jedem Vektor in S ist.

Nicht unbedingt:

Ein symmetrische Bilinearform auf S ist noch nicht zwangsläufig ein Skalarprodukt auf S: Letzteres benötigt noch die positive Definität, d.h., dass $\begin{eqnarray*} <\vec{x} , \vec{x} >= 0\iff \vec{x}=0 \end{eqnarray*}$ . Und ohne Skalarprodukt auch keine Orthogonalität.

Eigentlich musst du blos nachrechnen, dass das ein Unterraum ist.

09.05.2012, 21:15

MungDal

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hey danke... war ja wirklich nicht schwer Augenzwinkern

10.05.2012, 18:54

DP1996

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Gern geschehen.

Wobei mir grad auffällt, das ich oben n bisschen Käse geschrieben habe, positive Definität (oder Definitheit verwirrt

) braucht natürlich noch die Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} <\vec{x},\vec{x} >\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle Vektoren x ist.

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