offene Menge stetige Funktion

05.05.2012, 13:28	umbi	Auf diesen Beitrag antworten »
offene Menge stetige Funktion Meine Frage: Hallo Leute, ich soll folgendes zeigen: Seien (X,d) ein metrischer Raum und f aus C(X). Dann ist M:= { x aus X:f(x)<1} offen. Meine Ideen: also ich kann anschaulich sagen, dass die Menge offen sein muss, weil ich ja in meiner Menge beliebig dicht an f(x)= 1 herankomme, es aber selbst nicht in M liegt. Frage ist nun, wie ich mathematisch zeige, dass die Menge eben nicht offen ist. Ich weiß, dass ich ein beliebiges epsilon >0 finden muss, für das gilt, dass jeder Abstand zweier Punkte eben kleiner ist als epsilon. Nur wie finde ich das? Vielen Dank für Eure Hilfe
05.05.2012, 13:46	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: offene Menge stetige Funktion Du solltest zeigen, das für $\begin{eqnarray} x \in M \Rightarrow U:=U_{\varepsilon}(x) \subset M \end{eqnarray}$ dh.: für jedes $\begin{eqnarray} z \in U \Rightarrow z \in M \end{eqnarray}$
05.05.2012, 14:53	umbi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ok, aber verstehe nicht, wie ich das mache! stehe gerade ziemlich auf dem schlauch, weil das glaube ich wirklich einfach ist und ich es nicht checke. Also ich kann nachdem ich allgemein die umgebung definiert habe keine konkrete aussage machen. also außer, dass der abstand von x zu z \in U < µ. wie kann ich das denn nun mit der definition von M={xϵX:f(x)<1} verbinden? sorry checke gerade grundlegend nicht, wie ich an so ne aufgabe rangehen muss.
05.05.2012, 15:01	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den Notationen von oben ... $\begin{eqnarray} f(z)= {\color{blue}f(z)-f(x)}+f(x) < \ldots \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1-f(z) \leq \|\ldots\| + \|\ldots\| < \ldots \end{eqnarray}$ s.o. und jetzt nutzt man Voraussetzungen. HTH
05.05.2012, 15:24	umbi	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist die abschätzung von unten (wenn ich jetzt einfach meine Metrik festlege) $\begin{eqnarray} f(z) = f(z) - f(x) + f(x) <epsilon + 1 \end{eqnarray}$ ? was ja wiederrum bedeuten würde, dass f(z) nicht in M liegt, weil epsilon>0
05.05.2012, 19:17	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Aufgabentypen sind elementar für den Umgang mit Offenheit und einer $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Begründung. Verrate ich Dir hier zuviel, betrüge ich Dich um die Erfahrung, die Du noch hundertfach benötigst ... Eine Skizze ist gut, wo die Ränder und Umgebungen und die Möglichkeiten der $\begin{eqnarray} \delta,\varepsilon \end{eqnarray}$ als Radien von Umgebungen auftauchen. Folgende Übung ist analog: Ist $\begin{eqnarray} (Y,d) \end{eqnarray}$ metrisch, dann sind die $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}(y) \end{eqnarray}$ offen für jedes $\begin{eqnarray} y \in Y \end{eqnarray}$ . - Z.B. $\begin{eqnarray} Y=\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ mit Euklidischer Metrik. Zur Aufgabe: $\begin{eqnarray} f \in C(X) \end{eqnarray}$ heisst, dass $\begin{eqnarray} f: X \to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig ist mit einem metr.Raum $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ als Urbildmenge. - Für (irgend-)ein $\begin{eqnarray} x_0 \in X \end{eqnarray}$ gelte $\begin{eqnarray} y_0 := f(x_0) < 1 \end{eqnarray}$ . - Jetzt nehme ein Blatt Papier, zeichne darauf quer einen Strich (Rand der 1 im WerteBereich) und mit einem gewissen Abstand davon den Punkt $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ . - Es ist $\begin{eqnarray} y_0 < 1 \end{eqnarray}$ . Oder gleichwertig $\begin{eqnarray} 0 < 1 - y_0 \end{eqnarray}$ der Abstand von $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ zum 'Rand der 1'. - Zeichne diesen Abstand (= Strich) von $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ zum 'Rand'. - Wenn Du jetzt um $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ eine Umgebung (= Kreis) malst, stellst ff. fest: $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}(y_0) \subseteq U_{1-y_0}(y_0) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 0< \varepsilon \leq 1-y_0 \end{eqnarray}$ . Bislang taucht in meiner Argumentation kein Metrik-Ausdruck $\begin{eqnarray} d(\, ,\,) \end{eqnarray}$ auf, denn wir befanden uns im Zielraum $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Jetzt schreiben wir die $\begin{eqnarray} \varepsilon,\delta \end{eqnarray}$ -Def. der Stetigkeit für $\begin{eqnarray} f \in C(X) \end{eqnarray}$ hin, weil wir von dem Ausdruck $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| \end{eqnarray}$ etwas verlangen können. Dies und die vorherigen Überlegungen ergeben $\begin{eqnarray} \begin{array}{ccccc}<br /> f(x) &=& f(x)-f(x_0) &+& f(x_0)\\ &\leq& \|f(x)-f(x_0)\| &+& y_0\\ &<&\qquad\cdots &+& \cdots \\ &=& ~&1 \end{array} \end{eqnarray}$ Was können wir über diese $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ sagen, hmm ???
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