Kreis und Hyperbel: Begründungen + Gleichungen

05.05.2012, 14:31

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Kreis und Hyperbel: Begründungen + Gleichungen

Meine Frage:
Gegeben sei ein Kreis k mit dem Mittelpunkt F' und ein Punkt F im Äußeren von k (siehe Abbildung).
? Begründe: Die Punkte P, die vom Punkt F und vom Kreis k den gleichen Abstand haben liegen auf einer Hyperbel hyp mit den Brennpunkten F und F'.
? Der Kreis k heißt Leitkreis der Hyperbel mit dem Mittelpunkt F'. Drücke den Radius des Leitkreises durch die Halbachsenlänge der Hyperbel aus.
? Gib eine Gleichung der zum Leitkreis k: (x+5)^2+y^2=36 mit dem Mittelpunkt F' gehörigen Hyperbel in 1. Hauptlage aus.
? Gib eine Gleichung des zur Hyperbel hyp:64x^2-225y^2=14400 gehörigen Leitkreises mit dem Mittelpunkt F' an.

Meine Ideen:
Für die erste Aufgabe, habe ich eine Idee, nämlich dass ja F'P+PF=F'P+PK=F'K konstant sein müsste, allerdings weiß ich nicht wie ich das beweisen kann? Für die anderen habe ich leider keine Ansätze.

06.05.2012, 02:05

mYthos

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Es handelt sich NICHT um eine Ellipse, sondern um eine Hyperbel (!).
[Der Titel wurde entsprechend geändert!]

NICHT die Summe, sondern die Differenz von F'P - PF ist konstant. Die Tatsache folgt aus der symmetrischen Lage von PK und PF, infolgedessen ist PK = PF

Die konstante Differenz wird 2a genannt, wobei a die Länge der Hauptachse der Hyperbel ist. Das muss nicht bewiesen werden, denn es wird durch die 1. Definition (Leitliniendefinition) der Hyperbel beschrieben. Gleichbedeutend mit dieser ist die 2. Definition, die Leitkreisdefinition.

Der Mittelpunkt einer Hyperbel in 1. Hauptlage liegt im Nullpunkt, demnach haben die Brennpunkte die Koordinaten F'(-e; 0) und F(e; 0). Aus der Gleichung des Leitkreises gewinnt man die Koordinaten von F' und den Wert von a (sein Radius ist gleich 2a).

Letztendlich lautet die Gleichung der Hyperbel

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} \color{red} - \color{black} \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \text{mit} \ a^2 + b^2 = e^2 \end{eqnarray*}$
Edit (mY+): Schreibfehler korrigiert.

Nun mache etwas daraus ...

mY+

06.05.2012, 09:28

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
Es handelt sich NICHT um eine Ellipse, sondern um eine Hyperbel (!).
[Der Titel wurde entsprechend geändert!]

NICHT die Summe, sondern die Differenz von F'P - PF ist konstant. Die Tatsache folgt aus der symmetrischen Lage von PK und PF, infolgedessen ist PK = PF

Letztendlich lautet die Gleichung der Hyperbel

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$

mY+

auch du solltest eine hyperbel hermalen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$

vermutlich ein starkes beispiel für das "hominide fehlerfortpflanzungsgesetz" Augenzwinkern

06.05.2012, 21:53

mYthos

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Der

schläft nicht! Augenzwinkern

Danke für die Aufmerksamkeit!

mY+

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