Problem bei der Produktintegration

05.05.2012, 17:46

frosch95

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Problem bei der Produktintegration

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem bei meinen Hausufgaben. Ich hab zwei Aufgaben, die ich mit Hilfe der Produktintergration (partielle Integration) oder mit Integration durch Substitotion lösen sollen.
Die erste Aufgabe lautet:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! e^{-x} \times (x^{2}-1) \, dx \end{eqnarray*}$ [-1/2]

Meine Ideen:
wir haben in der Schule mit folgender Formel gearbeitet:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! u'(x)*v(x) \, dx =\left[u(x)*v(x)\right]_{b}^{a} -\int_a^b \! u(x)*v'(x) \, dx \end{eqnarray*}$
ich habe gesagt u'(x)= $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ und v(x)= x²-1
demnach währe u(x)= $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ und v'(x)=2x
stimmt das soweit?

05.05.2012, 18:01

frosch95

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in die Formel eingesetzt würde das dann heißen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! e^{-x} \times (x^{2}-1) \, dx=\left[-e^{-x} *(x^{2}-1) \right]_{b}^{a} -\int_a^b \! -e^{-x} * x^{2} -1 \, dx \end{eqnarray*}$
a und b sind die Grenzen, mann muss immer -1 für a und 2 für b einsetzten. ich hab das nur nicht hinbekommen mit dem formeleditor

05.05.2012, 18:01

Equester

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Sieht soweit gut aus Freude

Freude

.

Habs aber gar nicht ganz durchgerechnet, wie schnell das geht.
Halte ein Ausklammern und dann eine partielle Integration für sinnvoller Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Geht aber natürlich beides (nur was schneller/einfacher ist?).

05.05.2012, 18:05

frosch95

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so wie ich weiter gerechnet hab kommt da aber was anderes raus, als wenn ich das direkt in den taschenrechner eingebe.

was meinst du mit ausklamern?

05.05.2012, 18:08

Equester

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Zitat:

Original von frosch95
in die Formel eingesetzt würde das dann heißen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! e^{-x} \times (x^{2}-1) \, dx=\left[-e^{-x} * x^{2}-1) \right]_{b}^{a} -\int_a^b \! -e^{-x} *\color{red}( x^{2} -1)\color{black}, dx \end{eqnarray*}$
a und b sind die Grenzen, mann muss immer -1 für a und 2 für b einsetzten. ich hab das nur nicht hinbekommen mit dem formeleditor

Ah gar nicht gesehen^^.
Fehler markiert. Zudem hätte ich da ohnehin gern eine Klammer drum rum gehabt!

Edit: $\begin{eqnarray*} e^{-x} *(x^{2}-1) \end{eqnarray*}$
Das hier halt ausklammern Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Ist vermutlich einfach dann zu integrieren.
Geschmackssache.

05.05.2012, 18:19

frosch95

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upps. ja du hast recht, in meinem heft steht's richtig. dann muss mein rechenfehler irgendwo danach liegen. also weiter:
ich habe als nächstes die Grenzen eingesetzt
[3*(-e^-2)]-[(-e^1)*(-2)-(-e^-2)*(-4)]
jetzt kann ich doch das grünmakierte kürzen oder?

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05.05.2012, 18:30

Equester

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Zusammenfassen meinst du?
Kürzen tut man eher bei einem Bruch Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Was ist das? Das ist der erste Summand? Da stimmt dann der erste Teil. Wie kommst
du auf (-e^1)*(-2)?
Was ist der zweite Teil dieser Klammer?

05.05.2012, 18:34

frosch95

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schreibs dir mal ganz kleinschrittig auf. das dauertaber etwas.

05.05.2012, 18:37

Equester

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Wir haben Zeit smile

smile

.
Damit du die Zeit nicht verschwendest: (-1)²=1! Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2012, 18:40

frosch95

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der eine Teil hinter der Gleichung lautet ja $\begin{eqnarray*} \left[-e^{-x}*x^{2} -1\right]_{-1}^{2} \end{eqnarray*}$ dann lautet ja die regel obergrenze minus untergrenze ich setze also zuerst 2 ein. dan habe ich $\begin{eqnarray*} -e^{-2}*2^{2} -1 \end{eqnarray*}$ und das ist dann $\begin{eqnarray*} -e^{-2}*3 \end{eqnarray*}$ .
die untergrenze eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} -e^{-(-1)}*(-1)^{2} -1 \end{eqnarray*}$ und das ist ja gleich null. so komme ich auf den ersten teil.

05.05.2012, 18:41

frosch95

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Zitat:

Original von Equester
Wir haben Zeit smile

smile

.
Damit du die Zeit nicht verschwendest: (-1)²=1! Augenzwinkern

Augenzwinkern

ja das wusste ich schon und -1-1=0

05.05.2012, 18:43

Equester

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Ahh ok.
Dann kann ich dir nun mim ersten Term folgen. Abgesehen von der fehlenden Klammersetzung richtig.

Zitat:

Original von frosch95

Zitat:

Original von Equester
Wir haben Zeit smile

smile

.
Damit du die Zeit nicht verschwendest: (-1)²=1! Augenzwinkern

Augenzwinkern

ja das wusste ich schon und -1-1=0

Dachte, das wäre dein Fehler...wegen deiner zweiten Klammer.
Aber dann: Wie bist du auf die gekommen?

(Übrigens ist -1-1 nicht 0 :P)

05.05.2012, 18:50

frosch95

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das mit der klammer hab ich nicht gemerkt. der zweite teil sollte das integral sein.
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} \! -e^{-x}*2x \, dx \end{eqnarray*}$ und ich habe glaube ich soeben meinen fehler gefunden. ich muss das ganze integrieren bevor ich die grenzen einsetze also
Untergrenze: $\begin{eqnarray*} e^{-(-1)} *((-1)^{2} -1) \end{eqnarray*}$ und das ist ja dann wieder null.
Obergrenze: $\begin{eqnarray*} e^{-2} *(2^{2} -1) \end{eqnarray*}$ und das ist dann $\begin{eqnarray*} e^{-2} *3 \end{eqnarray*}$

Tippfehler: ich meine 1-1=0

05.05.2012, 18:51

Equester

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^^ Ja, das musst doch nochmals integrieren...partiell integrieren! Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2012, 18:53

frosch95

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dann steht da also jetzt $\begin{eqnarray*} [-e^{-2} *3]-[e^{-2}*3] \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 18:57

frosch95

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dann sollte die lösung $\begin{eqnarray*} -6*e^{-2} \end{eqnarray*}$ sein.
mein taschenrechner rechnet wenn ich das ganze integral eingebe allerdings $\begin{eqnarray*} -9*e^{-2} \end{eqnarray*}$ aus? verwirrt

verwirrt

05.05.2012, 18:57

Equester

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Hast du nochmals integriert?

05.05.2012, 18:58

frosch95

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wo hätte ich das dann nochmal tun sollen? ich hab jetzt nurnoch meine beiden teillösungen subtrahiert

05.05.2012, 18:59

Equester

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$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} \! -e^{-x}*2x \, dx \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 19:00

frosch95

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ja da hab ich das gemacht. also in e^-x und (x²-1) eingesetzt

05.05.2012, 19:06

Equester

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Ah gut, passt.

Du hast doch $\begin{eqnarray*} -6e^{-2} \end{eqnarray*}$ ..für den zweiten Summanden.
Für den ersten hattest du $\begin{eqnarray*} -3e^{-2} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} -9e^{-2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2012, 19:09

frosch95

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nee hab ich nicht. wo hab ich das geschrieben?

05.05.2012, 19:11

Equester

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$\begin{eqnarray*} [-e^{-2} *3]-[e^{-2}*3] \end{eqnarray*}$

Und das ist $\begin{eqnarray*} [-6e^{-2}] \end{eqnarray*}$ .

05.05.2012, 19:14

frosch95

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da hatte ich aber schon die lösung von[u(x)*v(x)] und des integrals zusammengerechnet. daher mein problem

05.05.2012, 19:18

Equester

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Also nommal:
Du musst $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} \! -e^{-x}*2x \, dx \end{eqnarray*}$ integrieren.
Hast du das gemacht? Partiell!

05.05.2012, 19:20

frosch95

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$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} \! -e^{-x}*2x \, dx =\left[e^{-x} *x^{2}-1 \right]_{-1}^{2} \end{eqnarray*}$
darein habe ich die Grenzen eingesetzt

05.05.2012, 19:23

Equester

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Wie kommst du darauf?
Hast du auch partiell integriert, wie ich es schon mehrfach angemerkt hatte...?
Wohl eher nicht :P.

05.05.2012, 19:27

frosch95

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ich komme darauf weil die stammfunktion von -e^-x=e^-x
und die stammfunktion von 2x ist in diesem fall ja x²-1, weil 2x = v'(x) ist.

anscheined verstehe ich nicht so ganz was du mit partiell meinst. könntest du das bitte näher erläutern? verwirrt

verwirrt

P.S.: mein Taschenrechner spuckt mir auch 6*e^-2 aus. da liegt also mein fehler

05.05.2012, 19:46

Equester

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Du hast doch wieder ein Produkt. Wir machen also das nochmals, was wir zu Beginn
schon gemacht haben^^.

Zitat:

wir haben in der Schule mit folgender Formel gearbeitet:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! u'(x)*v(x) \, dx =\left[u(x)*v(x)\right]_{b}^{a} -\int_a^b \! u(x)*v'(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Das waren deine Worte. Setze sie ein weitere Mal an.

05.05.2012, 20:22

Equester

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Geklappt?

Augenzwinkern

05.05.2012, 20:27

frosch95

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ich hab kapiert was du mit partiell meinst. ich hab da ja noch ein produkt stehen. ich glaube ich schaffe den rest der aufgabe Tanzen

Tanzen

danke

smile

05.05.2012, 20:29

Equester

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Problem erkannt, Problem gebannt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gerne smile

smile

,

Wink

05.05.2012, 20:38

frosch95

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ich versuch mich mal an der zweiten Aufgabe. Wenn ich eine Frage hab, dann meld ich wieder. Big Laugh

Big Laugh

Wink

05.05.2012, 20:40

Equester

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Tu das.
Aber der Thread ist schon lange genug. Bitte in einem neuen Thread Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

05.05.2012, 20:41

frosch95

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Einverstanden!

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