grenzwert von reihe bestimmen; minimales sn

05.05.2012, 19:58

msb_

grenzwert von reihe bestimmen; minimales sn

Meine Frage:
hallo, ich hätte folgene aufgabe zu lösen:

$\begin{eqnarray*} s_{n} := \sum\limits_{k=0}^n \frac{(i*\pi)^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

hier soll ich ein minimales n bestimmen, für welches $\begin{eqnarray*} | s_{n} - s_{\infty} | < 10^{-2} \end{eqnarray*}$ ist.

danke für die hilfe!!

Meine Ideen:
als ergbnis mit dem taschenrechner habe ich n=10 rausbekommen, da stünde dann $\begin{eqnarray*} 0.0098 < 10^{-2} \end{eqnarray*}$

per hand hab ich allerdings so meine probleme...

ich habe jetzt erstmal angefangen den grenzwert für $\begin{eqnarray*} s_{\infty} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, da die reihe nach dem quotientenkrit. absolut konvergiert!? der grenzwert ist -1 ; aber wie komme ich da drauf?

$\begin{eqnarray*} s_{n} := \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(i*\pi)^{k}}{k!} = 1 + \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(i*\pi)^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

und wie geht's dann weiter?

05.05.2012, 20:22

msb11

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ah schon kapiert - hatte nen fehler im ansatz...
--> stichwort exponentialreihe und dann kommt man auch schon direkt auf die -1 Freude

dann steht da ja $\begin{eqnarray*} | s_{n} +1 | < 0,01 \end{eqnarray*}$

wie komm ich jetzt auf des n?

n=10 is glaub falsch... und falls doch nich wärs auch nur ne grobe abschätzung

06.05.2012, 14:12

HAL 9000

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Man könnte den Reihenrest der Exponentialreihe (denn um die geht es ja hier) für $\begin{eqnarray*} n > |x|-1 \end{eqnarray*}$ wie folgt durch eine geometrische Reihe abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \left| \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} \frac{|x|^k}{k!} \leq \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} \frac{|x|^k}{n!\cdot (n+1)^{k-n}} = \frac{|x|^{n+1}}{n!(n+1-|x|)} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Es ist im vorliegenden Fall also hinreichend, ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi^{n+1}}{n!(n+1-\pi)} < 10^{-2} \end{eqnarray*}$

zu finden.

EDIT: Hmm, ich sehe gerade, du sollst ein minimales $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit dieser Eigenschaft ermitteln? Das ist ldurch diesen eben skizzierten Weg leider nicht allein möglich.

06.05.2012, 15:17

msb11

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naja ich hab mir jetzt mal ausprobiert, wie sich der betrag verhält:

$\begin{eqnarray*} |s_{1}%20+1%20|=3,72... |s_{5}%20+1%20|=1,24... |s_{9}%20+1%20|=0,025... |s_{10}%20+1%20|=0,0072... \end{eqnarray*}$

also muss des minimale n ja zwischen 9 und 10 liegen.

rechnerisch weis ich nur nicht, wie ich da drauf komme....

06.05.2012, 15:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von msb11
also muss des minimale n ja zwischen 9 und 10 liegen.

Wie meinst du das mit dem "zwischen" ? Suchst du nach einem gebrochenen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

06.05.2012, 15:40

msb11

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in der aufgabenstellung steht leider kein zahlenbreich dabei...
ich schreib jetzt einfach

$\begin{eqnarray*} n_{min} \in \mathbb N = 10 \end{eqnarray*}$

und gut is...

$\begin{eqnarray*} n_{min} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ müsste so bei $\begin{eqnarray*} \frac{487}{50} \end{eqnarray*}$ liegen

danke

06.05.2012, 16:41

HAL 9000

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Eigentlich war das in meinem letzten Beitrag eine rhetorische Frage, deren Antwort natürlich "Nein" lauten sollte, denn Summenindizes sind gewöhnlich ganzzahlig. Mit deinem

Zitat:

Original von msb11
$\begin{eqnarray*} n_{min} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ müsste so bei $\begin{eqnarray*} \frac{487}{50} \end{eqnarray*}$ liegen

hast du allerdings mit "Ja" geantwortet. geschockt

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