Induktiver Beweis einer Ungleichung

05.05.2012, 19:58

Christian_P

Induktiver Beweis einer Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4 \cdots 2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\quad \text{für alle}\; n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1: \quad \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{3}}\quad \text{ ist erfüllt} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die Ungleichung mit der Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ multipliziert, denn das ist jeweils der nächste Faktor für $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot3\cdots (2n-1)(2n+1)}{2\cdot 4 \cdots 2n(2n+2)}< \frac{2n+1}{\sqrt{2n+1}(2n+2)} \end{eqnarray*}$

Kann man damit argumentieren, dass der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2}<1 \end{eqnarray*}$ ist bzw. der Zähler kleiner als der Nenner ist und sich deshalb die linke Seite der Ungleichung verkleinert?

Die rechte Seite hab ich umgeformt zu: $\begin{eqnarray*} \frac{1-\frac{1}{2n+2}}{\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray*}$

Hier würde sich die Zahl vegrößern, erst recht, wenn: $\begin{eqnarray*} \frac{1-\frac{1}{2n+2}}{\sqrt{2(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$ also im Indutkionsschritt.

Habt ihr einen Tipp?

Grüße

06.05.2012, 02:37

SusiQuad

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RE: Induktiver Beweis einer Ungleichung
Tipp:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n \,\dfrac{2n+1}{2n+2} \overset{(I.S.)}{<} \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\,\dfrac{2n+1}{2n+2}=\dfrac{\sqrt{2n+1} }{ 2n+2} < \dfrac{1}{\sqrt{ 2n+3}} \end{eqnarray*}$

Letzteres weil $\begin{eqnarray*} 4n^2+4n+3 < (2n+2)^2 \end{eqnarray*}$

HTH Wink

06.05.2012, 11:56

Christian_P

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Hi SusiQuad, danke für die Antwort.

Nur leider verstehe ich nicht ganz, was du genau meinst, und wie ich das nun auf meine Überlegungen anwenden kann.

liebe Grüße

06.05.2012, 12:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Christian_P
und wie ich das nun auf meine Überlegungen anwenden kann.

Seltsame Frage. Denn abgesehen von dem kleinen Schreibfehler

Zitat:

Original von SusiQuad
Letzteres weil $\begin{eqnarray*} 4n^2+4n+3 < (2n+2)^2 \end{eqnarray*}$

hier müsste nämlich $\begin{eqnarray*} (2n+1)(2n+3) = 4n^2+8n+3 < (2n+2)^2 \end{eqnarray*}$ stehen, hat SusiQuad bereits den kompletten Induktionsschritt genannt.

06.05.2012, 12:47

Mystic

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Ja, wobei das Ausrechnen von (2n+1)(2n+3) sowieso kontraproduktiv ist (SusiQuad hat sich ja auch prompt dabei verrechnet!), sondern man sollte das in der Form ((2n+2)-1)((2n+2)+1) anschreiben und dannn die 3. Binomische Formel anwenden oder sich noch besser gleich auf die Tatsache berufen, dass das arithmetische Mittel zweier Zahlen niemals kleiner als das geometrische ist... Augenzwinkern

06.05.2012, 16:15

Christian_P

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Hi

Ich habe gerade knapp einen Monat Mathestudium (1.Semester) hinter mir. Dies nur am Rande Augenzwinkern

Von daher kann ich einfach noch nicht so viele Tricks anwenden. Mit Abschätzungen tue ich mich noch echt schwer.

Ich habe versucht zu begründen, warum die Ungleichung im Schritt von n nach n+1 immer noch gilt, indem ich mir die linke und rechte Seite angeschaut habe, in der Hinsicht, wie sich die Zahlen jeweils ändern. Nun hatte ich festgestellt, das die linke Seite kleiner wird und die rechte Seite vermutlich größer. Ganz entsprechend der Monotonie der Ungleichung.

Durch die Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot \frac{2n+1}{2n+2}=\frac{1-\frac{1}{2n+2}}{\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray*}$

hab ich dann für mich erkannt, dass die rechte Seite in jedem Fall größer wird, erst recht dann, wenn:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\frac{1}{2n+2}}{\sqrt{2(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$ gilt.

Und jetzt kommt die Erklärung des Induktionsschrittes von SusiQuad ins Spiel, die ich gerade versuche genau zu verstehen. Das ist mathematisch natürlich viel cleverer, aber eben nicht ganz leicht.

Grüße

06.05.2012, 16:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Christian_P
Durch die Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot \frac{2n+1}{2n+2}=\frac{1-\frac{1}{2n+2}}{\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray*}$

hab ich dann für mich erkannt, dass die rechte Seite in jedem Fall größer wird, erst recht dann, wenn:

$\begin{eqnarray*} {\color{red} \frac{1-\frac{1}{2n+2}}{\sqrt{2(n+1)+1}}} \end{eqnarray*}$ gilt.

Du drückst dich undeutlich aus: Was wird größer mit dem "erst recht" ? Du hast dann nur noch einen Term genannt, aber nicht, wie der in irgendeine Abschätzung eingehen soll. unglücklich

06.05.2012, 17:26

Christian_P

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$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n \,\dfrac{2n+1}{2n+2} \overset{(I.S.)}{<} \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\,\dfrac{2n+1}{2n+2}=\dfrac{\sqrt{2n+1} }{ 2n+2} < \dfrac{1}{\sqrt{ 2n+3}} \end{eqnarray*}$

letzteres weil:

$\begin{eqnarray*} (2n+1)(2n+3)=((2n+2)-1)((2n+2)+1)=(2n+2)^2-1 < (2n+2)^2 \end{eqnarray*}$

Ok jetzt seh ichs. Finger1

Rationalmachen des Nenners und dann die rechte Ungleichung umgeformt und quadriert. Hat'n bisschen gedauert Augenzwinkern

Ja, dass ist ein bisschen einfacher umgeformt und begründet als meine Versuche. wunderbar!

Danke Euch allen.

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