Wahrscheinlichkeitsräume

05.05.2012, 18:44

Wahrscheinlich_Dave

Wahrscheinlichkeitsräume

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich verstehe folgende Aufgabe nicht wirklich.???

geg.: $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} \right\} \end{eqnarray*}$
P sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\begin{eqnarray*} A = P\left( \Omega \right) \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} P\left(a_{1}\right) \end{eqnarray*}$ aus
$\begin{eqnarray*} P\left( \left\{ a_{2},a_{3} \right\} \right)= \frac{2}{3} <br /> P\left( \left\{ a_{2},a_{4} \right\} \right)= \frac{1}{2}<br /> P\left( a_{2} \right)= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} P\left( a_{3} \right)= \frac{P\left( \left\{ a_{2},a_{3} \right\} \right)}{P\left( a_{2} \right)}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=2 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} P\left(a_{4} \right) \end{eqnarray*}$ erhalte ich auf diese Weise $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ .
Das steht nur leider alles irgendwie im Widerspruch dazu, dass die Gesamtwhrscheinlichkeit nicht größer 1 sein darf.
Wo liegt mein Denkfehler?
Danke für eure Hilfe!
David

05.05.2012, 18:53

Leopold

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O ja, das ist ganz falsch! Wie kommst du darauf, zu dividieren?

Verwende die Additivität:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{P \left( \{ a_2 \, ,a_3 \} \right)}_{\text{bekannt}} = \underbrace{P \left( \{ a_2 \} \right)}_{\text{bekannt}} + \underbrace{P \left( \{ a_3 \} \right)}_{\text{gesucht}} \end{eqnarray*}$

05.05.2012, 18:56

Gast11022013

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RE: Wahrscheinlichkeitsräume

Zitat:

Original von Wahrscheinlich_Dave

geg.: $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} \right\} \end{eqnarray*}$
P sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\begin{eqnarray*} A = P\left( \Omega \right) \end{eqnarray*}$

Also um das erstmal ein bisschen klarer aufzuschreiben:

Der Wahrscheinlichkeitsraum ist hier $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathfrak{P}(\Omega),P) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{a_1,a_2,a_3,a_4\right\} \end{eqnarray*}$

Und nun nutze die Angaben und Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Edit: Leopold war schneller. Ich halte mich raus. Augenzwinkern

06.05.2012, 07:03

Wahrscheinlich_Dave

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Sorry, habs mir heut früh auch schon gedacht. Danke für eure schnelle Antwort gestern abend noch. Ich stand gestern abend auf dem Schlauch...

Falls jemand die Ergebnisse interessieren:

$\begin{eqnarray*} P\left(a_{3}\right)=\frac{1}{3}<br /> P\left(a_{4}\right)=\frac{1}{6}<br /> P\left(a_{1}\right)=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
Gegenprobe:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 \end{eqnarray*}$

Dave

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