Definitionen von Konvergenz bei Folgen äquivalent zur Standarddefinition?

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friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,

ich habe das Forum gewissenhaft nach einer Lösung für meine Aufgabe durchsucht, aber leider nichts gefunden. Deswegen stelle ich die Frage hier in einem neuen Thread.
Ich hab einfach keine Ahnung wie ich bei folgender Aufgabe ran gehen soll:









Die Standarddefinition der Konvergenz einer Folge lautet:


Zu meinen Überlegungen:
Ich denke, dass (a) äquivalent zur Standarddefinition der Konvergenz einer Folge ist, da ja egal ist, wie groß die Genauigkeitsschranke gewählt wird.
Sie kann aus meiner Sicht auch das doppelte von Epsilon betragen. Hauptsache ab einem gewissen Folgenglied liegen alle weiteren Folgenglieder in dem Epsilon-Schlauch.
Aber wie beweißt man sowas???

Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen kann. Ich brauch einfach irgendwie einen Anfang.


Edit Equester: Überlänge korrigiert.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo friggonaut,

du hast recht mit deiner Vermutung zu a). Die Definition der Konvergenz hast du ja auch schon korrekt aufgeschrieben: Ganz hinten haben wir . Jetzt möchten wir aber gerne da stehen haben . Was passiert, wenn du Epsilon mit 2 multiplizierst?
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Cel,

danke für deine Antwort!

Wenn ich Epsilon mit 2 multipliziere, wird Epsilon doppelt so groß. D.h. für die Folge, dass das Folgenglied, ab dem alle weiteren Folgenglieder im "Epsilon-Schlauch" liegen, einen kleineren Index hat, als es normalerweise (bei der Standarddefinition) hätte. Also liegen die Folgenglieder sozusagen "früher" im "Epsilon-Schlauch", da dieser ja größer wird. Ist das soweit korrekt?

Wenn ich schreibe, dass ab einem gewissen Folgendglied alle weiteren Folgenglieder im Epsilon-Schlauch liegen, meine ich diese Ungleichung:
Mein Prof. sagt dann auch, dass der Abstand oder der Unterschied zwischen den Folgengliedern (allen nach n_0) und dem Grenzwert, kleiner ist, als die Genauigkeitsschranke Epsilon.

Wenn ich Epsilon mit 2 multipliziere, halbiert sich also der Abstand zwischen den Folgengliedern (allen nach n_0) und dem Grenzwert.

Meine Idee ist, dass ich einfach:



Aber wie geht sowas?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, die eine Richtung hab ich dir doch schon fast vorgesagt und du selbst hast es auch umschrieben. Epsilon ist kleiner als 2*Epsilon, was spricht also dagegen, folgendes zu schreiben:

?

Das ist . Für die andere Richtung weißt du, dass gilt, wie musst du dann dein neues Epsilon, nennen wir es definieren, so dass die geforderte Ungleichung passt?
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »


, oder?

Aber wie schreibt man das jetzt alles in einen Beweis?

Ich versuchs mal. Wäre nett, wenn ich Kritik kriegen würde Augenzwinkern :




Also:


-------------------------------------------------------------




-------------------------------------------------------------


Damit gilt:

Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Folge konvergiert, existiert ein mit . Man vergrößert durch die 2 nur, deswegen geht der Beweis in die Richtung sofort durch. Diese Definition braucht man nur für die andere Richtung:

Für alle Epsilon gilt ab einem bestimmten . Das gilt auch mit einem Epsilon Hut, indem ich einfach Epsilon Hut = Epsilon setze. Da gibt es nicht sehr viel aufzuschreiben. Wichtig ist, dass man immer noch alle Zahlen > 0 erreicht, die zwei hat darauf keinen Einfluss.

Edit: Oder besser: es gilt für alle Epsilon, dass der Ausdruck kleiner als 2 Epsilon ist. Dann nehmen wir ein neues Epsilon, das wir als 2 Epsilon definieren. Dann gilt das gewünschte, denn wenn Epsilon alle positiven Zahlen durchläuft, dann auch 2 Epsilon. Und nah genug kommen wir auch an den Grenzwert, evtl. durch Vergrößerung des n0.
 
 
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das ist sehr verständlich. Tut mir leid. Ich hab im Post (vor diesem hier) totalen Mist aufgeschrieben.

Ich versteh deine Argumentation und hoffe, dass diese so als Beweis durchgeht.

Vielen Dank für deine Hilfe Cel!!!! Freude

THX4URHilfe Mr.Brightside Big Laugh
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