Beweis: Abschätzung von Fourierkoeffizienten

06.05.2012, 11:10	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Abschätzung von Fourierkoeffizienten In der Aufgabe geht es letztlich um eine Abschätzung der Fourierkoeffizienten für s-mal differenzierbare, $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -periodische Funktionen. Den ersten Teil habe ich bewiesen, beim zweiten Teil, der so in etwa einer Art Rückweg entspricht, brauche ich hingegen eure Hilfe, vielen vielen Dank schonmal an diejenigen, die sich meiner annehmen Also, die Aufgabe: Sei f eine Abbildung von den reellen in die komplexen Zahlen und $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -periodisch. $\begin{eqnarray} c_n(f) := \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \! f(x)e^{-inx} \, dx , n \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie die folgenden Aussagen: (a) [habe ich bereits gelöst wahrscheinlich, hier der Vollständigkeit halber] Falls f s-mal differenzierbar ist, dann exisitert ein C > 0, so dass $\begin{eqnarray} \|c_n(f)\|\leq \frac{C}{\|n\|^s}, n \in \mathbb Z\setminus{0} \end{eqnarray}$ Ist diese Aussage noch immer wahr, falls f lediglich s-1-mal stetig differenzierbar und $\begin{eqnarray} f^{(s-1)} \end{eqnarray}$ stückweise glatt ist? [darauf war meine Antwort ja] (b) [darum geht's mir jetzt eigentlich] Sei f stetig und stückweise glatt und es existiere $\begin{eqnarray} s \in \mathbb N, s\geq 3, C>0 \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \|c_n(f)\|\leq \frac{C}{\|n\|^s}, n \in \mathbb Z\setminus{0} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie nun, dass f mindestens s-2-mal differenzierbar ist. ___________________________________________ Bei der (b) bin ich einigermaßen ratlos, da mir da schlicht ein Ansatz fehlt, irgendwie geht's aber ja im Prinzip darum, unter der Annahme, dass das Ergebnis aus (a) gilt, mindestens etwas lockerere Anforderungen an f gelten als in (a). Aber ich habe irgendwie keine Ahnung, wie ich sowas wie "mindestens s-2 mal differenzierbar" nun zeigen soll Ich hab hier mal noch meinen Beweis(versuch) für die (a) eingetippt, vielleicht hilft's ja weiter oder vielleicht ist schon der falsch, kann, wer Lust hat, ja mal noch durchsehen, vielleicht bringt's auch was für die (b) : Aus der Definition von c_n, dann per partieller Integration (f ableiten): $\begin{eqnarray} 2\pi c_n(f)=\int_0^{2\pi} \! f(x)e^{-inx} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2\pi c_n(f)= - \frac{1}{in}f(x)e^{-inx}\|_0^{2\pi}+ \frac{1}{in}\int_0^{2\pi} \! f'(x)e^{-inx} \, dx \end{eqnarray}$ (der vordere Summand ist null, da f und exp(...) 2 Pi-per. sind) (nun nochmal partiell) $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2\pi c_n(f)= - \frac{1}{in}(- \frac{1}{in})f'(x)e^{-inx}\|_0^{2\pi}+ \frac{1}{in}\frac{1}{in}\int_0^{2\pi} \! f'(x)e^{-inx} \, dx \end{eqnarray}$ (der vordere Teil ist wieder null, das Prozedere kann man jetzt nochmal s-2 mal durchführen) $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \|c_n(f)\|= \left \| \left(\frac{1}{in}\right)^{s}\right \| \frac{1}{2\pi}\left \|\int_0^{2\pi} \! f^{(s)}(x)e^{-inx} \, dx \right \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \frac{1}{\|n\|^s}C^* \end{eqnarray}$ (für ein C>=0) $\begin{eqnarray} \leq \frac{1}{\|n\|^s}C \end{eqnarray*}$ (für ein C>0)
07.05.2012, 15:55	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann wirklich niemand helfen? Habe die (b) inzwischen auch per Induktion versucht, über s. Aber schon der Induktionsanfang mit s=3 wollte mir nicht gelingen.

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