Fußpunkte der Höhen eines Dreiecks.

06.05.2012, 11:51

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Fußpunkte der Höhen eines Dreiecks.

Meine Frage:
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A=(-8|0), B=(2|-2) und C=(2|8).
Zu berechnen sind die Fußpunkte der Höhen Fa, Fb und Fc.

Meine Ideen:
Ich hätte das so gemacht, dass ich zuerst den Richtungsvektor AB berechne. Von dem berechne ich anschließend den Normalvektor. Diesen Normalvektor verwende ich für die Normalvektordarstellung, setze C ein und erhalte so die Normalvektorgleichung für die Gerade der Höhe.
Anschließend verwende ich den oben ermittelten Richtungsvektor und hänge ihn an A an, damit ich die Parameterform für die Gerade durch A und B erhalte. Die beiden Geraden schneide ich (also x und y aus der Parameterform in die Normalvektorform einsetzen) und erhalte ein t, das ich wieder in die Parameterform einsetze und so S erhalte. Ich bekomme so allerdings nie die richtigen Ergebnisse.

06.05.2012, 12:47

Gualtiero

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Deine Vorgangsweise ist richtig, also hast Du wahrscheinlich einen Fehler in der Rechnung.

Wenn Du ihn nicht findest, zeige Deine Berechnung.

06.05.2012, 12:52

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Okay vielen Dank, da bin ich erleichtert…allerdings habe ich das jetzt schon so oft kontrolliert und finde den Fehler wirklich nicht! Ich hänge meine Berechnungen an, ich hoffe du findest den Fehler!

06.05.2012, 13:12

Gualtiero

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Hm, muss leider sagen, dass ich nicht klar komme.
Die Gerade durch Punkt C, also diejenige, welche die Höhe auf c enthält, ist bei mir: -5x + y = -2

Die Gerade, die durch A und B geht: x + 5y = -8

Ich habe es zuerst mit der Parameterform gerechnet; m = 21/26 (für Gerade durch A )und B

Der andere Parameter: n = -25/26

06.05.2012, 13:15

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Mhmmm… ich weiß nicht genau was du meinst. Kannst du mir vllt. die Rechenschritte wie du insbesondere auf die Geraden kommst erklären? verwirrt

06.05.2012, 13:35

Gualtiero

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Es ist genau Dein Rechenweg. Gerade durch Punkt C: $\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix} +n \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gerade durch A und B: $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \end{pmatrix} +m \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Richtungsvektoren nicht gekürzt, das spielt für die Ergebnisse natürlich keine Rolle.

Gleichsetzen, umschreiben in ein LGS und nach den Parametern auflösen; das ergibt für m und n die genannten Lösungen.

06.05.2012, 13:40

riwe

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pardon
die einfachste (vektorielle) variante ist vermutlich:

$\begin{eqnarray*} (\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC})\cdot \overrightarrow{AB}=0\to t=\frac{21}{26} \end{eqnarray*}$

und schon geh ich wieder in den garten Augenzwinkern

06.05.2012, 13:43

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Das verstehe ich jetzt überhaupt nicht. Was ist OA und OC? Was ist das für eine Schreibweise und wie komme ich dahin??

06.05.2012, 13:46

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Zitat:

Original von Gualtiero
Es ist genau Dein Rechenweg. Gerade durch Punkt C: $\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix} +n \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gerade durch A und B: $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \end{pmatrix} +m \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Richtungsvektoren nicht gekürzt, das spielt für die Ergebnisse natürlich keine Rolle.

Gleichsetzen, umschreiben in ein LGS und nach den Parametern auflösen; das ergibt für m und n die genannten Lösungen.

Ich verstehe das leider immer noch nicht. Warum verwendet man hier 2 Parameter und wie soll ich daraus ein Lineares Gleichungssystem machen? Ich hätte das eben einfach so gemacht, dass ich die Gerade durch C durch eine Normalvektordarstellung darstelle, und dann für das x und das y die entsprechenden Werte aus der Parameterform von der Gerade durch A und B einsetze.

06.05.2012, 13:59

Gualtiero

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Du schneidest die beiden Geraden - und genau das mache ich auch, indem ich die beiden Parametergleichungen gleichsetze und in zwei Zeilen auflöse; also so:

2 + 2n = -8 + 10m
8 + 10n = 0 - 2m

Mit den Parametern kannst Du dann den Schnittpunkt berechnen; Du musst zweimal die gleiche Lösung bekommen.

Du hast in Deiner Rechnung ziemlich am Anfang für die Gerade durch A und B stehen: x + 5y = 42
Wie kommst Du drauf? Da ist schon mal eine Abweichung von meiner Gleichung: x + 5y = -8

Mein Ergebnis habe ich überprüft, also ist möglicherweise da der Fehler . . . verwirrt

PS.: riwe arbeitet mit dem Skalarprodukt; der Klammerausdruck ist der Vektor C zum Fußpunkt der Höhe; und der mit Vektor AB über das SP verknüpft muss 0 ergeben, weil sie rechwinklig aufeinander stehen.
Das kannst Du ja im Anschluss mit ihm besprechen.

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