Wieso ist Null keine Nullstelle dieser Funktion?!

06.05.2012, 11:59

Ankit

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Wieso ist Null keine Nullstelle dieser Funktion?!

Meine Frage:
Hallo zusammen,
die Aufgabe lautet:
Gegeben sei die Kurve $\begin{eqnarray*} y^{2}=x^{2}-x^{4} \end{eqnarray*}$ .
Skizzieren Sie die Kurve im Intervall [-2,2]. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
- Berechnen Sie die Nullstellen und Extrema im ersten Quadranten.
- Skizzieren Sie den Verlauf im ersten Quadranten.
- Überlegen Sie sich, wie der Verlauf in den anderen Quadranten sein könnte.
Bestimmen Sie die Fläche, die von dieser Kurve umschlossen wird.

Meine Ideen:
Ich habe zunächst mit einem Plotter die Funktion gezeichnet, um ne Vorstellung zu haben, wie sie aussieht. Da konnte man auch ganz klar ablesen, dass die Funktion durch den Ursprung geht, allerdings hat sie dort einen Knick. (Ich bin mir nicht sicher, aber heißt dieser Knick vielleicht, dass im Ursprung die Funktion unstetig ist?) Jedenfalls habe ich dann mit einer Software die Nullstellen berechnet, und diese zeigte mir als Nullstelle nur -1 und 1 an und nicht die 0. Aber mit folgender Gleichung macht es Sinn, dass 0 eine Nullstelle ist:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}-x^{4}}=0<br /> x^{2}*(1-x^{2})=0 \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle würde ich an $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ sehen, dass auch in 0 eine Nullstelle liegt, das stünde aber im Widerspruch zur Software. Kann mir jemand vielleicht meinen Denkfehler erklären?

Wäre supernett! Vielen Dank schon mal =)

06.05.2012, 12:02

IfindU

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Der Knick heißt die Funktion ist in 0 nicht differenzierbar. Stetig ist es, und 0 ist ebenfalls eine Nullstelle.
Da versagt die Technik wohl.

06.05.2012, 12:08

soas

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Die Kurve hat bei (0|0) keinen Knick.
Der Plotter hat die Hälfte der Kurve vergessen (nämlich die mit negativem y.)
$\begin{eqnarray*} y^{2}=x^{2}-x^{4} \end{eqnarray*}$ ist eine Kurve, die keine Funktion ist. Daher machen auch so Sachen wie Stetigkeit und Diff´barkeit nicht soviel Sinn.

06.05.2012, 12:13

Ankit

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Vielen Dank für die Antworten! Jetzt habe ich auch gesehen, dass der Plotter den 3. und 4. Quadranten völlig vernachlässigt hat. Die Aufgabe lautet ja nun auch, dass man sich den Verlauf in den anderen Quadranten überlegen soll. im 2. Quadranten kann ich ja einfach über die Achsensymmetrie arbeiten. Aber wie zeige ich am besten den Verlauf im 3. und 4. Quadranten?

06.05.2012, 12:16

Ankit

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Moment mal, da sehe ich gerade, dass y doch gar keinen negativen Wert annehmen kann? Oder bin ich grad völlig dumm? Denn sonst würde ja der Ausdruck unter der Wurzel einen negativen Wert annehmen. Sprich die Funktion ist im 3. und 4. Quadranten gar nicht definiert oder?

06.05.2012, 12:21

IfindU

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Ich hab wie soase richtig bemerkt hat die Originalkurve außer Acht gelassen.

Du musst aufpassen: Wurzelziehen ist keine Äquvalenzumformung, deswegen macht man gerne $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ vor die Wurzel. Dann bekommt man die untere Hälfte auch hin.

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06.05.2012, 12:34

Ankit

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Hm ich finde das alles irgendwie ein wenig komisch. Jetzt habe ich die Funktion gezeichnet, in dem ich keine Wurzel gezogen hab, sondern als Funktionsgleichung eingegeben habe:

$\begin{eqnarray*} x^{2}=x^{2}-x^{4} \end{eqnarray*}$

Dann zeigt mir der Plotter das an, was ihr beiden wahrscheinlich meintet.
Aber ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich jetzt die Gleichungen sonst umformen kann.
Kann mir jemand vielleicht Schritt für Schritt die Gleichungen erklären? Wäre echt nett weil ich mittlerweile den Überblick verloren habe unglücklich

unglücklich

Danke schon mal!

06.05.2012, 12:36

Ankit

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Ein kleiner Fehler in meiner Gleichung eben.. ich meinte natürlich nicht $\begin{eqnarray*} x^{2}=x^{2}-x^{4} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} y^{2}=x^{2}-x^{4} \end{eqnarray*}$

06.05.2012, 12:38

IfindU

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Überleg mal welche Lösungen die Gleichung $\begin{eqnarray*} y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ hat, dann kannst du dir überlegen wie $\begin{eqnarray*} y^2 = x^2 \end{eqnarray*}$ für x > 0 wohl aussieht.

Denke dann solltest du einigermaßen sehen was hier passiert.

06.05.2012, 12:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Du musst aufpassen: Wurzelziehen ist keine Äquvalenzumformung

Das sehe ich etwas anders: Das Wurzelziehen an sich ist hier nicht das Problem (denn die Wurzelfunktion ist injektiv), sondern der Fehler, der dann bei der Vereinfachung gemacht wurde: Für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gilt nun mal nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2}=y \end{eqnarray*}$ , sondern zunächst mal nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2}=|y| \end{eqnarray*}$ , das ist der eigentliche Fehler.

06.05.2012, 12:57

Ankit

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Danke erst mal! Ich habe auch auf den Vorschlag von ifindu mir klar gemacht, was das genau heißt. Aber ich verstehe nicht ganz, was mathematisch falsch daran ist wenn ich

$\begin{eqnarray*} y^{2}=x^{2}-x^{4} \end{eqnarray*}$ durch Wurzelziehen

zu

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x^{2}-x^{4}} \end{eqnarray*}$

umforme?? Kann mir jemand das erklären. Leider wird mir das nicht so klar

06.05.2012, 13:01

HAL 9000

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Eigentlich habe ich genau das doch soeben getan: Durch Wurzelziehen folgt zunächst erstmal nur

$\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2}=\sqrt{x^2-x^4} \end{eqnarray*}$

und dann greift das hier:

Zitat:

Original von HAL 9000
Für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gilt nun mal nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2}=y \end{eqnarray*}$ , sondern zunächst mal nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2}=|y| \end{eqnarray*}$

Machen wir es konkret: Für $\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \neq -1 = y \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich so banale Sachen, es ist verwunderlich, dass du auf sowas nicht schon in der Schule gestoßen bist. unglücklich

unglücklich

06.05.2012, 13:06

KnowingLizard

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Zitat:

Original von Ankit
Danke erst mal! Ich habe auch auf den Vorschlag von ifindu mir klar gemacht, was das genau heißt. Aber ich verstehe nicht ganz, was mathematisch falsch daran ist wenn ich

$\begin{eqnarray*} y^{2}=x^{2}-x^{4} \end{eqnarray*}$ durch Wurzelziehen

zu

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x^{2}-x^{4}} \end{eqnarray*}$

umforme?? Kann mir jemand das erklären. Leider wird mir das nicht so klar

Schau dir an, was HAL 9000 geschrieben hat:

Zitat:

Für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gilt nun mal nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2}=y \end{eqnarray*}$ , sondern zunächst mal nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2}=|y| \end{eqnarray*}$ , das ist der eigentliche Fehler.

Das heißt,
$\begin{eqnarray*} y^{2}=x^{2}-x^{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sqrt{y^{2}}=\sqrt{x^{2}-x^{4}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |y|=\sqrt{x^{2}-x^{4}} \end{eqnarray*}$

Das heißt, $\begin{eqnarray*} y_1 = \sqrt{x^{2}-x^{4}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2 = -\sqrt{x^{2}-x^{4}} \end{eqnarray*}$

Dass beide y deine Gleichung $\begin{eqnarray*} y^{2}=x^{2}-x^{4} \end{eqnarray*}$ erfüllen, kannst du dir ja auch sofort klar machen, wenn du beide einsetzt, beim Quadrieren von $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ verschwindet das Minus, ebenso die Wurzel, auf beiden Seiten der Gleichung steht dann noch $\begin{eqnarray*} x^2-x^4 \end{eqnarray*}$ .

_
Ist denn dieses Thema wirklich im richtigen Bereich?

06.05.2012, 13:22

Ankit

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Aaah jetzt hab ich das endlich verstanden. Vielen vielen Dank an alle für die zahlreichen Tipps ! smile

smile

Ich rechne nun mal weiter und hoffe, dass keine Fragen offen bleiben. =)

06.05.2012, 13:31

Ankit

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Wenn ich nun die Ableitung der Funktionsgleichung bilden möchte, dann habe ich da ja im Prinzip wieder |y'|, der wiederum ein mal aus y'1 und und y'2 besteht oder?

Und wenn ich die Extremstellen berechnen will, so nehme ich einfach beide Gleichungen und setze sie jeweils gleich 0. Stimmt das?

06.05.2012, 13:34

hollisch

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Kann man nicht einfach die Extremstelle für einen Teil ausrechnen und dann mit der Achsensymmetrie argumentieren? Alle exponenten der Ausgangsgleichung sind gerade!

06.05.2012, 13:45

Ankit

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Zitat:

Original von hollisch
Kann man nicht einfach die Extremstelle für einen Teil ausrechnen und dann mit der Achsensymmetrie argumentieren? Alle exponenten der Ausgangsgleichung sind gerade!

Doch, so müsste es eigentlich auch gehen vom Prinzip her. Habe es gerade ausprobiert, vielen Dank!

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