Funktionenfolge punktweise und gleichmäßige Konvergenz

06.05.2012, 12:59

Anja123456

Funktionenfolge punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Hallo zusammen!

Ich habe ein großes Problem mit einer Funktionenfolge, bei der man zeigen soll, dass sie punktweise konvergiert und dann entscheiden soll, ob sie auch gleichmäßig konvergiert.

$\begin{eqnarray*} fn(x)=\left\{n(n+1), x \in \left[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n} \right] 0, sonst \right\} \end{eqnarray*}$

Ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht wirklich eine Idee habe. Unsere übliche Herangehensweise an so eine Aufgabe, war es n gegen unendlich zu schicken und zu schauen ob es eine Funktion gibt gegen die die Funktionenfolge konvergiert. Hier hat man als Grenzwert unendlich raus wobei x->0 geht, was an sich ja keine Grenzfunktion ist. Nichtsdestotrotz soll die Funktionenfolge punktweise gegen f(X)=0 konvergieren.

Mein Problem ist glaube ich hauptsächlich, dass mir das grundsätzliche Verständnis dazu fehlt, was punktweise und gleichmäßig Konvergenz ist. Mir ist klar, dass punktweise Konvergenz bedeutet, dass sich die Funktionenfolge bei steigendem n immer mehr der Grenzfunktion annähert. Bei gleichmäßiger Konvergenz soll diese Annäherung unabhängig vom x sein. Aber irgendwie ist für mich absolut nicht klar was das wirklich bedeutet. Vielleicht kann mir das nochmal jemand erläutern?
Vielleicht bin ich danach dann auch in der Lage diese Aufgabe selber zu lösen. Ich wäre diesbezüglich für jeden Denkanstoß dankbar, aber ich möchte bitte keine fertige Lösung bekommenm, denn dann habe ich wieder nichts verstanden!

lg Anja

07.05.2012, 08:03

lp-raum

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Mal dir am Besten mal den Funktionsgraphen von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ für die ersten paar n auf.

Es gibt für jedes n einen gewissen Bereich, auf dem $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nicht Null ist, und dieser wird erstens immer kleiner und verschiebt sich zweitens nach links in Richtung Nullpunkt.

Zitat:

Mir ist klar, dass punktweise Konvergenz bedeutet, dass sich die Funktionenfolge bei steigendem n immer mehr der Grenzfunktion annähert.

Das ist ewas undeutlich, wie der Name schon sagt wird bei punktweiser Konvergenz nur eine Aussage über das Verhalten der Funktionenfolge bei jedem einzelnen Punkt getroffen. Für jeden einzelnen Punkt x muss sich $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für große n annähren (wenn f die Grenzfunktion ist). Die "Geschwindigkeit" dieser Annäherung kann aber von Punkt zu Punkt unterschiedlich sein. Für eine punktweise aber nicht notwendig gleichmäßig konvergente Funktion, wenn man zum Beispiel fragt, ab welchem n ist $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ dann erhält man für jeden Punkt (womöglich) unterschiedliche n als Antwort. Bei jedem Punkt wird (wenn punktweise Konvergenz vorliegt) ab einem gewissen n diese Ungleichung gelten, aber es könnte sein, dass man bei einem der Punkte n=2 wählen kann, bei einem anderen die Ungleichung erst ab n=10000 erfüllt ist usw. Wenn es keine obere Schranke für die (jeweils minimal gewählten) n gibt, die zu den verschiedenen Punkten gehören, ist die Funktion nicht gleichmäßig konvergent.

Zur punktweisen Konvergenz der gegebenen Funktion: Für einen beliebigen Punkt x im Intervall [0,1], mache dir klar, dass x ab einem gewissen (von x abhängigen) n nicht mehr in den Intervallen liegen wird auf denen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nicht Null ist. z.B. für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_1(x)>0,f_2(x)>0,f_3(x)>0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} f_4(x)=0,f_5(x)=0,.. \end{eqnarray*}$
So ähnlich ist es für alle Punkte in dem Intervall. Daraus folgt dann, dass f punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert.

zur gleichmäßigen Konvergenz: Damit gleichmäßige Konvergenz vorliegt, muss für großes n $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ unabhängig von x klein (nahe bei 0) sein. Der Funktionsgraph von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ müsste sich für große n gleichmäßig, d.h. überall sozusagen an die Grenzfunktion (die Nullfunktion) anschmiegen. D.h. man müsste das n, ab denen $\begin{eqnarray*} f_n(x)<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist, für jedes x gleich wählen können.

07.05.2012, 14:09

Anja123456

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hab vielen lieben Dank für deine Antowrt vor allen Dingen deine Ausführungen zur gleichmäßigen Konvergenz haben mir sehr weitergeholfen ! das n in der gegebenen Funktion ist ja eben nicht von x unabhängig

07.05.2012, 17:05

Sarah213

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Zitat:

Zur punktweisen Konvergenz der gegebenen Funktion: Für einen beliebigen Punkt x im Intervall [0,1], mache dir klar, dass x ab einem gewissen (von x abhängigen) n nicht mehr in den Intervallen liegen wird auf denen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nicht Null ist. z.B. für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_1(x)>0,f_2(x)>0,f_3(x)>0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} f_4(x)=0,f_5(x)=0,.. \end{eqnarray*}$
So ähnlich ist es für alle Punkte in dem Intervall. Daraus folgt dann, dass f punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert.

1) Für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_1(x)>0 \end{eqnarray*}$ nicht richtig.

2) Warum soll das gegen die Nullfunktion gehen? (was ist eine Nullfunkton)? Wenn man das zeichnet siehts eher wie ein $\begin{eqnarray*} ~1/x \end{eqnarray*}$ Zusammenhang aus

08.05.2012, 03:50

lp-raum

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Zitat:

Original von Anja123456
hab vielen lieben Dank für deine Antowrt vor allen Dingen deine Ausführungen zur gleichmäßigen Konvergenz haben mir sehr weitergeholfen ! das n in der gegebenen Funktion ist ja eben nicht von x unabhängig

Genau.

@Sarah213: $\begin{eqnarray*} f_1(\frac{1}{3})=0 \end{eqnarray*}$ stimmt, das hatte ich übersehen. Das ändert aber nichts an irgendeinem Argument.
Die Nullfunktion ist die Funktion, die konstant Null ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall x f_n(x)=0 \end{eqnarray*}$
Warum $\begin{eqnarray*} f_n(x)\to 0 \end{eqnarray*}$ geht: Für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ ist das trivial, da für diese x $\begin{eqnarray*} f_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle n. Für x>0 ist aber wie beschrieben $\begin{eqnarray*} f_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ für fast alle n. Nämlich für alle n mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<x \end{eqnarray*}$

08.05.2012, 03:52

lp-raum

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Berichtigung: Ich hatte geschrieben $\begin{eqnarray*} \forall x f_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ ,meinte $\begin{eqnarray*} \forall x f(x)=0 \end{eqnarray*}$ (Dabei ist f die Nullfunktion.)

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