Äquivalentes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung angeben

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06.05.2012, 14:02	Bobby197	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalentes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung angeben Meine Frage: Hallo Forum, ich bin neu hier und habe auch gleich eine Frage. Wir sollen zu einer Differentialgleichung höherer Ordnung ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung angeben. Die Gleichung lautet: $\begin{eqnarray} y^{,,,}+(y^{,}+sin(t))²=cos(t)y^{,,} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich habe die Klammer aufgelöst und cos(t)y´´ auf die linke Seite gebracht. Anschließend habe ich diese Gleichung gelöst, als wäre sie homogen. Also ohne den Term sin(t)². Ich komme dann auf folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -(y^{,}+2) & cos(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ sin(t)² \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich bin bei der Matrix unsicher, da ich mir nicht vorstellen kann, dass die Ableitung von y in der Matrix vorkommt. Außerdem bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich den inhomogenen Term einfach so als Vektor addieren kann, wie ich es hier gemacht habe. Danke schonmal, für eure Zeit.
12.05.2012, 16:50	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalentes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung angeben Dein Ergebnis ist gar keine Gleichung. Wie hast du denn $\begin{eqnarray} \vec y \end{eqnarray}$ definiert? Den inhomogenen Teil als Vektor hinzuzuaddieren, ist jedenfalls die richtige Idee. In der Matrix darf aber tatsächlich kein y auftauchen. (auch nicht in einer Ableitung) Wenn du $\begin{eqnarray} \vec y \end{eqnarray}$ sinnvoll definierst, kannst du drei Differentialgleichungen erster Ordnung aufstellen; die ersten beiden sind richtig. (wenn du eine Gleichung hingeschrieben hättest) mfg, Ché Netzer
12.05.2012, 19:19	Bobby197	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für deine Antwort. Wenn die Gleichung $\begin{eqnarray} y^{,,,}+(y^{,}+sin(t))^{2}=cos(t)y^{,,} \end{eqnarray}$ homogen wäre, würde glaube ich schon folgende Lösung reichen oder? $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_2 \\ y_3 \\ cos(t)y_2-(y_1+sin(t))^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} y_1 =0 \end{eqnarray}$ gelten würde. Könnte ich hier auch einfach noch den inhomogenen Teil dazu addieren? Also wäre es überhaupt nötig in die Form $\begin{eqnarray} \vec{y^{,}} = A \vec{y}+\vec{b} \end{eqnarray*}$ umzuwandeln? Denn die Aufgabenstellung verlangt nur, ein äquivalentes GLS anzugeben.
12.05.2012, 20:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du unten noch die Indizes erhöhst, wäre das richtig. (wobei y1 aber natürlich nicht 0 ist) Versuch doch einfach mal, es in die Form Ay+b zu bringen. Als kleine Anregung: Wie würdest du denn y'=Ay+b klassifizieren?
14.05.2012, 15:10	Bobby197	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_2 \\ y_3 \\ cos(t)y_3-(y_2+sin(t))^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ich würde die Differentialgleichung als nicht linear klassifizieren, wenn du das meinst. Eine Idee von mir wäre sonst, $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ folgenderweise zu definieren: $\begin{eqnarray} \vec{y}=\begin{pmatrix} y_2^{2} \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann hätte ich folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} \vec{y^{,}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2sin(t) & cos(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_2^{2} \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ sin(t)^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
14.05.2012, 18:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, die ist nicht linear, also kannst du sie auch nicht in die Form y'=Ay+b bringen. Deine zweite Idee ist leider Unsinn. Sieh dir dabei mal die erste Zeile an, die stimmt gar nicht mehr.
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14.05.2012, 23:25	Bobby197	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, dann werde ich da nochmal überlegen. Ich dachte ich kann das so machen, weil ich dann $\begin{eqnarray} 0y_2^{2}+1y_2+0y_3 \end{eqnarray*}$ hätte. Aber ich werde mir morgen wohl was anderes einfallen lassen müssen.
14.05.2012, 23:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dann hättest du $\begin{eqnarray} (y_2^2)'=y_2 \end{eqnarray}$ , was du doch kaum ernst meinen kannst Aber dein DGL-System erster Ordnung hast du doch schon...
15.05.2012, 22:58	Bobby197	Auf diesen Beitrag antworten »
Also müsste ich nur das angeben, was ich zuerst geschrieben habe und wäre dann fertig? Wenn ich dann gefragt werde, ob ich auch die y´=Ay+b verwenden kann, argumentiere ich dann, dass es nicht möglich ist, weil sie nicht linear ist?
15.05.2012, 23:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mit "zuerst" das richtige meinst, ja
16.05.2012, 00:58	Bobby197	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich meine: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}=\begin{pmatrix} y_2 \\ y_3 \\ cos(t)y_3-(y_2+sin(t))^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Aber vielen Dank nochmal für deine Zeit und Hilfe.
16.05.2012, 06:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das lasse ich mal als Tippfehler durchgehen Und natürlich solltest du noch erklären können, warum die Probleme äquivalent sind bzw. was y_i ist.

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