Volltorus Volumen mit Cavalieri

06.05.2012, 14:03	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
Volltorus Volumen mit Cavalieri Meine Frage: Hallooo Seien 0<r<R vorgegeben. Sei K (R^3) derjenige Körper, der entsteht, indem man eine Kreisscheibe in der x-z-Ebene von Radius r mit Mittelpunkt (R,0,0) um die z-Achse rotieren lässt. Man bezeichnet K auch als Volltorus, er hat die Form eines Donuts. Berechnen Sie mit dem Cavalieri-Prinzip das Volumen dieses Körpers. Meine Ideen: Meine Idee ist, dass ich den Donut von oben nach unten in Kreisringe schneide. Dann einfach von -r bis r über diese Kreisringe integrieren. Also, zuerst den Flächeninhalt eines Kreisrings ausrechnen. Einfach grösserer Kreis minus kleinerer Kreis. $\begin{eqnarray} A_t \end{eqnarray}$ = Kreisring $\begin{eqnarray} (v_2)(A_t)=\pi (r+R)^2-\pi (R-r)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\pi (r^2+2Rr+R^2)-\pi (R^2-2Rr+r^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =4\pi Rr \end{eqnarray}$ r sei jetzt t. $\begin{eqnarray} v_3(Donut)=\int_{-r}^{r} \! v_2(A_t) \, dt=\int_{-r}^{r} \! 4\pi Rt \, dt=\left[2\pi Rt^2\right]_{-r}^{r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2\pi Rr^2+2\pi Rr^2=4\pi Rr^2 \end{eqnarray}$ und das stimmt leider nicht ganz mit der Formel von Wikipedia überein. Was mache ich falsch? Danke
06.05.2012, 17:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
nach Guildinscher Regel ist das Volumen Weg des Flächenschwerpunktes mal Fläche. $\begin{eqnarray} V=(2\pi R)\cdot \pi r^2 \end{eqnarray}$ aber das wäre wohl zu einfach. dein Fehler liegt darin, dass das r 2 verschiedene Bedeutungen hat. Beim Kreisring eine horizontale Distanz , beim Integrieren ist das aber wegen dem dr ein vertikaler Parameter = r'. Am besten, du nimmst da gleich z und dz. Wenn du vertikal Integrierst mit z= Null bis r ( Halbes Volumen) mit Kreisringscheibchen, dann fehlt noch die Beziehung zwischen z und r. Soweit meine Meinung.
07.05.2012, 11:24	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Schneide den Torus auf und biege ihn zu einem geraden Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h. Das Zylindervolumen lautet bekanntlich $\begin{eqnarray} V=r^2\pi h \end{eqnarray}$ . Die Zylinderhöhe h ist gerade der Umfang $\begin{eqnarray} u=2\pi R \end{eqnarray}$ des ehemaligen Torus. Man muss also in der Formel $\begin{eqnarray} V=r^2 \pi h \end{eqnarray}$ die Zylinderhöhe h durch den Torus-Umfang $\begin{eqnarray} u=2\pi R \end{eqnarray}$ ersetzen und erhält $\begin{eqnarray} V=2r^2\pi^2 R \end{eqnarray}$ .
07.05.2012, 12:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Ehos Da unterstellst du natürlich die Gültigkeit der Guldinschen Regel, auf die Dopap schon verwiesen hat. Damit ist das Problem aber nicht gelöst, sondern nur auf ein anderes verschoben: Denn warum sollte die Guldinsche Regel gelten?
07.05.2012, 15:43	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x_s=\frac {\int_a^b x f(x) \dd x }{A} \qquad mit \qquad A = \int_a^b f(x) \dd x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\pi A x_s=2 \pi \int_a^b x f(x) \dd x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underbrace {2\pi x_s A}_{\rm Guldini}= \int_a^b (2\pi x) f(x) \dd x \end{eqnarray}$ rechts steht das Drehvolumen, gebildet durch Hohlzylinder der Dicke $\begin{eqnarray} \dd x \end{eqnarray}$

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