Gaußfunktion mit Vorfaktor

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06.05.2012, 14:22	leija	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußfunktion mit Vorfaktor Meine Frage: Hallo! Also wenn ich eine Funktion f(x) habe die grundlegend gleich wie eine Gaußfunktion ist, nur dass sie einen von x unabhängigen Vorfaktor hat, wie berechne ich dann den Erwartungswert und die Varianz? Meine Ideen: Ich würde einfach den Erwartungswert bzw die Varianz der Gaußfunktion herausschreiben und diese Werte mit dem Vorfaktor multiplizieren, aber ist das erlaubt?
06.05.2012, 14:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußfunktion mit Vorfaktor Kannst Du mal bitte ein Beispiel dafür geben, was Du meinst?
06.05.2012, 14:39	leija	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion hat die Form: $\begin{eqnarray} A e^{B}* \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2} }\int e^{- \frac{(x-x_{0})^2 }{2 \sigma ^2} } \, dx \end{eqnarray}$ mit A und B unabhängig von x. Der EW der Normalverteilung ist ja $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ und die Varianz $\begin{eqnarray} \sigma ^2 \end{eqnarray}$ . Kann ich die jetzt mit $\begin{eqnarray} A e^{B} \end{eqnarray}$ multiplizieren?
06.05.2012, 14:47	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das soll jetzt Deine Dichtefunktion sein?
06.05.2012, 14:57	leija	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich mich nicht verrechnet habe schon... A, B und $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ sind natürlich etwas länger. Eigentlich habe ich aus einer zeitunabhängigen Impulswellenfunktion mit der Schrödingergleichung und anschließender Fouriertransformation die zeitabhängige Ortswellenfunktion hergeleitet, das ganze ist also eine etwas längere Funktion aber sollte im großen und ganzen schon stimmen.. edit: wenns nicht erlaubt ist, bleibt mir eh nichts anderes übrig als nochmal nachzurechnen bzw das ganze in eine andere Form zu bringen, wollte nur wissen ob ich mir den Aufwand vielleicht sparen könnte
06.05.2012, 15:16	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Erwartungswert berechnest Du ja bei gegebener Dichtefunktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\, dx \end{eqnarray}$ Wenn das A unabhängig von x ist, kannst Du es natürlich vor das Integral ziehen. Das gilt für das $\begin{eqnarray} e^{B} \end{eqnarray}$ auch. Letztlich landest Du also wegen der Linearität des Erwartungswerts bei $\begin{eqnarray} Ae^{B}E(X) \end{eqnarray}$ . Bei der Varianz musst Du aufpassen, wenn Du etwas herausziehst, das muss quadriert herausgezogen werden: $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X) \end{eqnarray}$ .
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06.05.2012, 15:32	leija	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt für den Erwartungswert kann ich also den Vorfaktor einfach dazu multiplizieren und bei der Varianz muss ich wegen $\begin{eqnarray} \Delta x=\left \langle x^2 \right \rangle -\left \langle x \right \rangle ^2 \end{eqnarray}$ für den Teil $\begin{eqnarray} \left \langle x^2 \right \rangle \end{eqnarray}$ das Integral extra rechnen. Ok schön langsam komm ich dem Ganzen schon näher thanx
06.05.2012, 15:35	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist meist so, wenn man die Varianz berechnen will, man nutzt: $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray}$ und der Rechenaufwand ist dann meist $\begin{eqnarray} E(X^2) \end{eqnarray}$ auszurechnen, wobei das ja nichts Anderes ist als $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)\, dx \end{eqnarray}$ . Ich muss Dir allerdings sagen, daß ich den physikalischen Hintergrund nicht bewerten kann, denn damit kenne ich mich nicht aus. Ich kann Dir nur das bisschen Mathematische sagen.
06.05.2012, 15:41	leija	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage noch: Wie kommst du auf $\begin{eqnarray} Var(aX) = a^2 Var(X) \end{eqnarray}$ wenn ich a heraus ziehe hab ich ja $\begin{eqnarray} Var(aX)= a [E(X^2)- a E(X)^2] \end{eqnarray*}$
06.05.2012, 15:47	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal hier bei der Überschrift "Lineare Transformationen".
06.05.2012, 15:54	leija	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar thanx again
06.05.2012, 15:55	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Bittesehr und gutes Gelingen.

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