Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren

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24.01.2007, 20:05	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren also ich musste die Gleichung von einer Funktion dritten Gardes mit den Punkten P (-2/-5), der ein Minimum hat, und dem Punkt Q (2/1), der ein Maximum hat bestimmen. das hab ich auch ohne probleme gelöst. ich häng nur gerade bei folgender aufgabenstellung: ich soll jetzt die nullstellen mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahren berechnen und hab keine ahnung wie ich beginnen soll. bitte helft mir!!!
24.01.2007, 20:33	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren Hallo Luethien! Wie sieht die Funktion aus? $\begin{eqnarray} f(x)=??? \end{eqnarray}$ Gruss yeti
24.01.2007, 20:36	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren die funktion lautet: $\begin{eqnarray} ax³ + bx² + cx + d \end{eqnarray}$
24.01.2007, 20:45	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren Ja, schon. Aber wie sind die numerischen Werte von $\begin{eqnarray} a,b,c,d \end{eqnarray}$ ? Die musst du doch haben, wenn du die Nullstellen bestimmen willst. Gruss yeti
24.01.2007, 20:46	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren also: a = -0,187 b = 0 c = 2,25 d = -2
24.01.2007, 20:55	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren Das ist richtig . Wenn man etwas genauer rechnet, ergibt sich: $\begin{eqnarray} f(x)= -\frac{3}{16} x^3+ \frac{9}{4} x- 2= -0.18750x^3+2.25000x-2.0000 \end{eqnarray}$ . Wie lautet der Ansatz und das Vorgehen für das NEWTON-Verfahren? yeti
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24.01.2007, 21:16	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren Hallo Luethien! Ist dir das NEWTON-Verfahren nicht bekannt? Vielleicht die Regula Falsi? Oder arbeitet ihr mit einem anderen numerischen Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen? Newton: $\begin{eqnarray} x_{n+1}= x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{eqnarray}$ . Klingt hier etwas an? yeti
24.01.2007, 21:19	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren und genau da liegt das problem: wir haben das Newton Verfahren noch gar nicht besprochen. es ist aber in dieser aufgabe verlangt.
24.01.2007, 21:21	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren nein nicht wirklich. bis jetzt haben wir immer nur die ausgangsgleichung null gesetzt. das ergebnis haben wir dann in die erste ableitung eingesetzt.
24.01.2007, 21:28	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren Das kann ich irgendwie nicht verstehen. Wie gehen wir jetzt vor? Ich sehe 2 Möglichkeiten: a) Du ziehst dir das NEWTON-Verfahren rein, zB. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren und löst nachher die Aufgabe. Das dauert. b) Ich erkläre dir kurz (ohne die Tiefe zu gehen), was es mit dem NEWTON-Verfahren auf sich hat und wir lösen die Aufgabe jetzt schrittweise gemeinsam? Deine Wahl? Gruss yeti
24.01.2007, 21:32	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren b) wär mir lieber.
24.01.2007, 21:38	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren OK, einverstanden! Gib mir ein paar Minuten, um eine Skizze einzuscannen, die ich dann posten kann. Mit der Skizze fällt die Erklärung dann leichter. yeti
24.01.2007, 21:39	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren ok.
24.01.2007, 22:02	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle mit Newtonschen Näherungsverfahren Luethien, die Erklärung hier ist geometrisch. Sie trifft das Wesentliche. In die Tiefe gehen können wir aber nicht. Sieh dir die angehängte Skizze an! Sie zeigt eine Fantasiefunktion, nur dazu da, das Verfahren zu erläutern. Sei $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ der Startpunkt, der hinreichend nahe" an der Nullstelle liegen muss, damit das Verfahren konvergiert. Was "hinreichend nahe" bedeutet, kann ich hier nicht erörtern, ist ziemlich kompliziert. Jetzt legen wir im Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ die Tangente* an die Kurve und bestimmen den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse. Dieser Schnittpunkt liegt bereits näher am gesuchten Nullpunkt. Wir bezeichnen ihn mit $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ . In $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ wiederholen wir die Prozedur und so fort... und nähern uns immer mehr dem gesuchten Nullpunkt. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn der Unterschied zwischen 2 Näherungen für unsere Zwecke klein genug geworden ist. Die Formel für die Berechnung des Näherungspunktes habe ich oben schon hingeschrieben. Sie lautet: $\begin{eqnarray} x_{n+1}= x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\,\, n= 0,1,2,... \end{eqnarray}$ In solchen Fällen ist ein Graph der Funktion immer nützlich. Das Matheboard bietet eine Funktion für diesen Zweck, die oberhalb des Textfensters zu finden ist (mit dem Mauszeiger langsam über die Tasten fahren -> Text erscheint): Man sieht, wo die Nullstellen ungefähr liegen, nämlich in der Nähe von $\begin{eqnarray} \{-4,1,3\} \end{eqnarray}$ . Ich schlage vor, dass wir mit der Nullstelle in der Nähe von $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ beginnen. Es ist also $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ Wie lautet der Wert für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ? Du bist dran! Gruss yeti
24.01.2007, 22:09	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
der wert für x1 = 0,9626998224
24.01.2007, 22:18	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe ein geringfügig anderes Resultat, nämlich $\begin{eqnarray} x_1=0.9629629630 \end{eqnarray}$ . Rechnest du mit der vollen Genauigkeit von $\begin{eqnarray} f(x)=-0.18750x^3+2.2500x-2.00 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f'(x)=-0.56250x^2+2.250 \end{eqnarray}$ ? yeti
24.01.2007, 22:22	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich mit den genauen zahlen rechne komme ich auch auf das ergebnis. muss ich jetzt um die anderen nullstellen zu berechnen x = -4 und x = 3 berechnen.?!
24.01.2007, 22:35	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht so hastig! Das NEWTON-Verfahren ist ein Iterationsverfahren. Man macht so viele Schritte, bis die geforderte Genauigkeit erreicht ist. Da in unserem Fall die Koeffizienten der Funktion nur 5 Dezimalen haben, würde ich sagen, du iterierst weiter, bis die Differenz $\begin{eqnarray} \mid x_{n+1}-x_n \mid < 10^{-5} \end{eqnarray}$ geworden ist. Keine Angst. das geht sehr schnell, da das NEWTON-Verfahren quadratisch konvergiert. Du gewinnst pro Iteration zwei Dezimalen. Nachher verfährst du für die anderen zwei Nullstellen genau so mit den von dir zitierten Startwerten. Willst du Nullstelle 1 mit mir zusammen fertigmachen oder soll ich mich abmelden? Gruss yeti
24.01.2007, 22:37	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
könnten wir die eine zusammen machen?? das wär nett.
24.01.2007, 22:50	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt der ansatz so: 0,9629622963 - 1 < 10^-5
24.01.2007, 22:58	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnung 15-stellig. Startwert: $\begin{eqnarray} x_0=1.0 \end{eqnarray}$ 1. Iteration: $\begin{eqnarray} x_1=0.962962962962962 \end{eqnarray}$ 2. Iteration: $\begin{eqnarray} x_2=0.963403880070549 \end{eqnarray}$ 3. Iteration: $\begin{eqnarray} x_3=0.963403941022740 \end{eqnarray}$ 4. Iteration: $\begin{eqnarray} x_4=0.963403941022740 \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} x_3=x_4 \end{eqnarray}$ nach nur 4 Iterationen! Ich möchte nochmals betonen, dass der Startwert "hinreichend nahe" an der gesuchten Nullstelle sein muss. Sonst besteht die Gefahr, dass das Verfahren "davonschwimmt" (divergiert). Am besten verschafft man sich einen Überblick mit Hilfe des Graphen der Funktion. Die Startwerte $\begin{eqnarray} \{-4,3\} \end{eqnarray}$ erfüllen die Bedingung. Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray} x_{02}=2.880423790791497 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{03}=-3.843827731814238 \end{eqnarray}$ Viel Erfolg! Gruss yeti
24.01.2007, 22:59	Luethien	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine hilfe.
24.01.2007, 23:06	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Jederzeit gerne wieder ! Noch ein Nachtrag für das Abbruchkriterium: So wie ich das verstehe, hast du nach der 1. Iteration eine Differenz von $\begin{eqnarray} 0.037037.. \end{eqnarray}$ . Jetzt iterierst du so lange, bis die Differenz $\begin{eqnarray} \mid x_{n+1}-x_n \mid < 10^{-5} \end{eqnarray}$ beträgt. Das wird in der gegend von $\begin{eqnarray} n=4,5 \end{eqnarray}$ der Fall sein. Gruss yeti

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