Der Gradient und seine Freunde

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06.05.2012, 17:11

Pumpelstilzchen

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Der Gradient und seine Freunde

Hallo Matheverrückte Wink

Ich hab hier mehrere Aufgaben die mir nicht klar sind. Und hoffe ich bekomme Hilfe smile

Zitat:

a)Gegeben sei :

$\begin{eqnarray*} \phi(x,y,z) = x²y - 2z³e^{-x-y²} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie:
$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\phi \end{eqnarray*}$

b)Berechnen Sie:
i)
$\begin{eqnarray*} |\vec{\nabla}\frac{1}{r}|² \end{eqnarray*}$

ii)
$\begin{eqnarray*} ||\frac{1}{r}\vec{\nabla} | \vec{\nabla}\frac{1}{r}|| \end{eqnarray*}$

iii)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \vec{e_{r}}\cdot \vec{\nabla} (\vec{e_{r}}\cdot \vec{ \nabla} \frac{1}{r}) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} r = |\vec{r}| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{e_{r}} = \frac{\vec{r}}{r} \end{eqnarray*}$

Die a) ist kein Problem, das ergibt einfach:

$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla} = \begin{pmatrix} 2xy+2z³e^{-x-y^{2}} \\ x²+4z³ye^{-x-y^{2}} \\ -6z²e^{-x-y^{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{-x-y^{2}} \begin{pmatrix} 2xy+2z³ \\ x+4yz³ \\ -6z² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt bei b):
i)

Ich frag mich was dieses ² (ja ist eine Potenz, aber in dem Zusammenhang)zu bedeutet hat, ist damit das gemeint:

$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\frac{1}{r} * \vec{\nabla}\frac{1}{r} \end{eqnarray*}$

Ist das dann ein Skalarprodukt oder ein normales Produkt mit einem Skalar verwirrt

sieht aus wie ein Produkt mit einem Skalar, weil der andere ja ein Vektor ist) Und könnt ich das auch schreiben als:

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec{\nabla}}{r} * \frac{\vec{\nabla}}{r} \end{eqnarray*}$

??

ii)

Ist das nicht dasselbe wie bei i) ? Außer das die Richtungen vertauscht sind, ich hab aber mal gelesen das dies einen Unterschied macht, also wo der nabla steht , leider versteh ich nicht wieso.

iii)
Das ist eine Kombination aus den anderen mit einem Einheitsvektor. Generell scheint dieses r-Vektor, der ja der Ortsvektor ist eine große Rolle zu spielen, kommt fast überall drin vor. Wie könnte man dann das interpretieren? Der Gradient projeziert auf einen Einheitvektor oder ähnliches?

Hoffe jemand hat genug Zeit mir zu Antworten Augenzwinkern

Vielen Dank, wenn ja smile

Gruß

06.05.2012, 19:56

Pumpelstilzchen

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ähhm dürfe ich kurz nochmal den thread pushen er ist komischerweise sehr schnell abgesoffen Augenzwinkern

und ich glaube es hat sich nun ein wenig beruhigt^^(auf der zweiten Seite sind übrigens noch andere unbeantwortete Fragen smile

)

Gruß

06.05.2012, 21:19

sergej88

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RE: Der Gradient und seine Freunde

Zitat:

Original von Pumpelstilzchen
$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\frac{1}{r} * \vec{\nabla}\frac{1}{r} \end{eqnarray*}$

Ist das dann ein Skalarprodukt oder ein normales Produkt mit einem Skalar?

Genau, wenn du
$\begin{eqnarray*} \nabla \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$ berechnet hat, dann ist diese ja ein Vektor. Diesen musst du dann mit sich selbst Skalarmultiplizieren. Oder, was dasselbe ist, du berechnest das Quadrat seiner Länge.

Zitat:

ii)
$\begin{eqnarray*} ||\frac{1}{r}\vec{\nabla} | \vec{\nabla}\frac{1}{r}|| \end{eqnarray*}$

Mit dieser Notation kann ich nichts anfangen. Kannst du das Original posten?
Ohne die Beträge würde ich jetzt eher auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r}\nabla \cdot ( \nabla \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}\Delta \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$
tippen.

Zitat:

iii)
Das ist eine Kombination aus den anderen mit einem Einheitsvektor. Generell scheint dieses r-Vektor, der ja der Ortsvektor ist eine große Rolle zu spielen, kommt fast überall drin vor. Wie könnte man dann das interpretieren? Der Gradient projeziert auf einen Einheitvektor oder ähnliches?

du liegst garnichtmal so daneben.
Ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein fester Vektor (ortsunabhängig), dann kann man den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} v \cdot \nabla \end{eqnarray*}$
als Richtungsableitung in Richtung $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ interpretieren. Bzw. halt als Projektion des Gradienten in Richtung $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Bei einem ortsabhängigen Vektor müsste man vlt. ein bisschen mehr aufpassen, aber nun gut.

Falls du den Gradienten in Kugelkoordinaten oder so darstellen kannst, so würde das deine Rechnungen für die Teile ab (ii) erheblich vereinfachen. Schaue mal nach, ob diese in der Vorlesung behandelt wurden.

mfg

07.05.2012, 16:51

Pumpelstilzchen

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Hallo sergej88 Freude

Vielen Dank für deine Antwort smile

Wobei ich mir noch nicht so sicher bin, ist r = ( x, y, z) ?? D.h. ich müsste dann bei der b) i) 1/(x, y, z) mit dem Nabla nehmen??

Gruß

07.05.2012, 19:00

sergej88

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Zitat:

Original von Pumpelstilzchen
Wobei ich mir noch nicht so sicher bin, ist r = ( x, y, z) ?? D.h. ich müsste dann bei der b) i) 1/(x, y, z) mit dem Nabla

fast, du muesstest von diesem Vektor den Betrag nehmen. Ist da ein Pfeil drueber so ist das ein Vektor wie bei dir und ist da kein Pfeil drueber, so ist es der Betrag.

mfg

08.05.2012, 18:23

Pumpelstilzchen

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Ok super, danke. Bei mir im Skript steht dies hier:

Sei $\begin{eqnarray*} \phi (\vec{r}) = r \end{eqnarray*}$
Mit Kettenregel folgt:

$\begin{eqnarray*} \nabla r = \frac{1}{2r}\nabla r² = \vec{e_{r}} \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht wieso hier auf einmal r² verwirrt

Oder kommt das von der Kettenregel??

Lg !

08.05.2012, 18:39

sergej88

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Genau Kettenregel ist das Stichwort.

$\begin{eqnarray*} \nabla f(r) = f'(r)\nabla r \end{eqnarray*}$ .

Benutze dieses mal für $\begin{eqnarray*} f(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ , dann kommst du genau auf das richtige.

mfg

08.05.2012, 20:13

Pumpelstilzchen

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Ahh ok ich habs verstanden denk ich smile

Also ich hab jetzt i) ausgerechnet und hab raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{x²}{x²+y²+z²}+\frac{y²}{x²+y²+z²} +\frac{z²}{x²+y²+z²} = 1 \end{eqnarray*}$

Hoffe das stimmt^^
Ok gut, die ii) find ich auch ein wenig komisch.
Also die vier Striche sind Betragsstriche, wobei die beiden äußeren Striche auf dem Papier größer sind als die inneren, es fehlt sogar ein Betragsstrich(der linke, kleinere innere, den ich aus versehen oben inuitiv dazu gemacht hab) verwirrt

Wenn ich das ganz normal ausrechne müsste ich ja dann den Gradient von einem Vektor nehmen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \nabla \frac{1}{sqr(x²+y²+z²)} \begin{pmatrix} x \\ y \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kugelkoordinaten hatten wir schon, allerdings ohne Gradient, die Prof. meinte das das später noch dran kommt und wir dann auch den Gradient in Kugelkoordinaten haben usw., sie wollte uns das nur schon mal zeigen oder so ähnlich. Krummlinige Koordinatensysteme allgemein hatten wir auch noch nicht. Den Laplace Operator hatte wir üprigens auch noch nicht(zu dem Zeitpunkt dieser Aufgaben), also muss das bei der ii) denk ich mal was anderes sein.

Jetzt noch kurz zu der nächsten Aufgabe(ich versuch jetzt mal ohne Kk.):

$\begin{eqnarray*} \vec{e_{r}} = \frac{x}{r}\vec{e_{x}} + \frac{y}{r} \vec{e_{y}} + \frac{z}{r} \vec{e_{z}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt einfach das in der Klammer als Skalarprodukt rechnen, dann von dem was dabei raus kommt den Gradienten, und dann das wieder mit dem 1/r *e_r skalar nehmen??

Sry wegen dem langen Post, aber der fasst jetzt glaub ich alle meine Bedenken zusammen Big Laugh

Schönen Abend noch smile

Gruß

08.05.2012, 20:26

Pumpelstilzchen

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oh mist die i) da hätte ich die Kettenregel anwenden sollen Big Laugh

Ich werds später noch mal neu berechen, soviel dazu smile

Gruß

08.05.2012, 20:41

sergej88

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Zitat:

Original von Pumpelstilzchen
Ok gut, die ii) find ich auch ein wenig komisch.
Also die vier Striche sind Betragsstriche, wobei die beiden äußeren Striche auf dem Papier größer sind als die inneren, es fehlt sogar ein Betragsstrich(der linke, kleinere innere, den ich aus versehen oben inuitiv dazu gemacht hab) verwirrt

Wenn ich das ganz normal ausrechne müsste ich ja dann den Gradient von einem Vektor nehmen:

ISt damit jetzt vielleicht

$\begin{eqnarray*} \left \Vert \frac{1}{r} \nabla | \nabla \frac{1}{r}| \right \Vert \end{eqnarray*}$
gemeint?

Wenn du den Gradienten von einem Vektor nehmen sollst, so ist das in der Regel entweder komponentenweise gemeint, dann kommt eine Matrix raus. Oder, was im Zusammenhang mit Naturwissenschaften häufiger benutzt wird, ist es als Divergenz

$\begin{eqnarray*} \nabla \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} = \partial_x f_1 + \partial_y f_2 + \partial_z f_3 \end{eqnarray*}$

zu verstehen.

Als ersten Schritt sollte man am besten $\begin{eqnarray*} \nabla \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$ sauber berechnet haben, darauf bauen ja alle anderen Teile auf. Du könntest natürlich mit Kettenwegel auch

$\begin{eqnarray*} \nabla \frac{1}{r} = \nabla r^{-1} = (-1)\frac{1}{r^2}\nabla r \end{eqnarray*}$

schreiben und deinen vorherigen Post benutzen.

mfg

08.05.2012, 22:18

Pumpelstilzchen

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Hello again^^

Bei der i) hab ich jetzt das raus:
Habs mal mit wolfram alpha ausgerechnet, bis ich das mit Latex hingeschrieben hab dauerts jahre:

hxxp:ggTww.wolframalpha.com/input/?i=gradient+%28x%2By%2Bz%29%2F%28x%C2%B2%2By%C2%B2%2Bz%C2%B2%29^3

tt durch xx ersetzen und ein gg durch ein // und das T durch ein w

Und diese riesigen Terme jetzt mit 1/r normal mal nehmen? :-( hm

Gruß

08.05.2012, 23:01

Pumpelstilzchen

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Oh man wieder Mist gebaut.
Zusammengefasst
$\begin{eqnarray*} \nable \frac{1}{r} = \frac{\vec{r}}{\sqrt{r³}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt nach dem Schema das ich oben schon geschrieben hab?

Gruß

08.05.2012, 23:03

Pumpelstilzchen

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Sry ich meinte:

$\begin{eqnarray*} \nabla \frac{1}{r} = \frac{\vec{r}}{\sqrt{r³}} \end{eqnarray*}$

09.05.2012, 10:23

sergej88

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Das kann nicht stimmen,

betrachten wir zum Beispiel die Ableitung nach x mit der Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \partial_x \frac{1}{r} = \partial_x (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}2x (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}-1} = -x(x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{x}{r^3} \end{eqnarray*}$

nach demselben Schema lassen sich auch die anderen ableiten

mfg

09.05.2012, 14:45

Pumpelstilzchen

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Oh man die Potenzgesetze Forum Kloppe

-.- naja also es ist dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec{r}}{r³} \end{eqnarray*}$

Beim nächsten würde ich das dann einfach so machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \nabla \begin{pmatrix} x/r³ \\ y/r³\\ z/r³ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich davon jetzt die partiellen Ableitungen machen bekomm ich riesige Terme, das kann doch nicht sein???

Gruß

09.05.2012, 15:25

Pumpelstilzchen

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Oh hab das minus vor dem Ergebniss vergessen ! Also vor -vector(r)/r³

Gruß

09.05.2012, 21:54

Pumpelstilzchen

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Hello again,
Also ich fasse noch mal kurz zusammen:

Ich hab jetzt, für den Gradienten bei der i) raus:

$\begin{eqnarray*} \vec{r}/r^3 \end{eqnarray*}$
Wäre der Betrag dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{x}{r^3})^2+(\frac{y}{r^3})^2+ (\frac{z}{r^3})^2} \end{eqnarray*}$
Könnte man das nicht vereinfachen? Sieht schon brutal aus bei den anderen Aufgaben dann.

?
Tut mir leid, ich hab diese nabla-vektor-mechanik nicht so drauf, sollte alles nochmal wiederholen traurig

Lg !

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